Discuter:Théorème de d'Alembert-Gauss

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Clé : le nom du mathématicien est d'Alembert ... ne serait-il pas logique de chercher à la lettre D ? --Ąļḋøø 25 aoû 2004 à 15:49 (CEST)

Non le nom est Alembert, la particule ne compte jamais dans le tri comme Ludwig van Beethoven est trie a Beethoven
Xmlizer 26 aoû 2004 à 13:34 (CEST)

Sommaire

[modifier] Lien théorème de Gauss

J'aurais tendance à virer comme hors-sujet la phrase sur le théorème de Gauss en électromagnétisme (ou en analyse vectorielle, si on veut). Qu'est-ce que vous en pensez ? Je pose la question parce que c'est un problème assez général : certes, une ligne comme celle-là permet au lecteur égaré de trouver le bon article. Mais à force de faire ça, on a plein de page qui au lieu d'avoir un sujet (et c'est ça, un article ! un texte sur un sujet) commencent par signaler que non, elles ne parlent pas de telle chose, enfin si peut-être, etc. Bref.

MM 25 oct 2004 à 20:42 (CEST) (un peu avant, en fait, oublié de signer)

[modifier] Théorème de D'Alembert-Gauss

D'abord, dans l'historique, il y a un mélange avec le théorème de Gauss relatif à la théorie du potentiel (et donc à l'électrostatique). Ah les fusions ! Cela dit, il y a de nombreuses démonstrations de ce théorème ; Gauss lui-même, si je me souviens bien, en a fourni deux différentes, et certainement pas en utilisant le théorème de Liouville. Je peux donner une démonstration du théorème de Liouville (hélas, pas de moi !) et donc du théorème susdit en utilisant seulement l'analyse réelle (on montre que toute fonction harmonique bornée sur Rn est constante). Donc, ni Liouville ni analyse complexe ne sont nécessaires. Ce qui reste irréductible à l'algèbre, sauf erreur, est qu'un polynôme à coefficients réels et de degré impair a au moins une racine. Donc la remarque est bienvenue (y compris la citation du théorème de Liouville) mais il faut tourner les choses un peu autrement. CD 24 jan 2005 à 01:20 (CET)

On peut aussi utiliser les inégalités de Cauchy sans utiliser le théorème de Liouville.Claudeh5 25 juin 2006 à 19:37 (CEST)

[modifier] Une petite question

L'article contient au fait deux phrases contradictoires qu'il serait intéressant d'élucider. Il est affirmé que les démonstrations du théorème font toujours appel à un argument topologique:

"La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse."

Pourtant R.vidonne a donné une référence où il affirme qu'il existe une preuve purement algébrique:

"Il existe une preuve purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre. Voir Alain Bouvier & Denis Richard, Editeur Hermann, ISBN 2705613838. Ouvrage malheuresement épuisé."

Quelqu'un peut il affirmer laquelle des deux affirmations est exacte? L0stman 27 avril 2006 à 21:47 (CEST)

La démonstration de Bouvier-Richard utilise ce pré-requis « tout polynôme à coefficient réels, de degré impair, possède une racine réelle » Peps 27 avril 2006 à 22:04 (CEST)
Merci de la précision Peps.J L0stman 28 avril 2006 à 13:45 (CEST)
ce qui est trivial d'un côté et utilise tout de même l'analyse (réelle) dans l'autre. Version cependant faible du théorème de Bolzano qui lui-même mène au théorème des valeurs intermédiaires...Claudeh5 25 juin 2006 à 19:40 (CEST)


Je me suis permis de donner cette précision, et de renvoyer à l'article sur les corps réels clos Dfeldmann 26 mai 2007 à 11:30

[modifier] Précision nécessaire ?

Juste un petit détail pour que le lecteur désireux de comprendre la démonstration puisse se dire qu'elle est entièrement rigoureuse. C'est quasiment trivial mais comme ça joue sur l'argument final :

Il faut dire que par continuité de la fonction z -> norme(P(z)), zo ne peut pas se trouver sur la bordure de la boule B(0,R). Et que donc pour r suffisament proche de 0, zo+z est dans B(0,R). Sinon il n'y a pas la contradiction à la fin de la démo. 4/12/2007 par anonyme.

il me semble que ce n'est pas nécessaire : m est défini comme la borne inférieure globale (sur C). On ne se place sur un compact que pour montrer que cette borne est atteinte, pas pour effectuer le "mouvement d'approche". Si m avait été introduit autrement, il aurait effectivement fallu être plus prudent. Peps 4 décembre 2007 à 18:53 (CET)

[modifier] Démonstration par Galois

Dans l'état actuel, la démonstration me laisse sceptique. Tout d'abord, la rédaction me semble bien négligée. L'extension L possède un groupe d'ordre 2k ou i ? Ensuite, l'extension est elle galoisienne ou quelconque? Enfin, même si elle est de Galois, qu'est ce qui laisse penser qu'un groupe d'ordre une puissance de deux est résoluble ? Si le groupe n'est pas résoluble, le théorème d'Abel indique qu'il n'y a aucune chance d'exprimer les racines par radicaux. Il est déjà au moins clair que la clôture quadratique de R ne contient pas toutes les racines des polynômes de degré quatre, la preuve rédigée ainsi est donc fausse. On le remarque simplement à l'aide de la forme générale d'une racine d'un polynôme de degré quatre, elle contient déjà des racines cubiques. Le corps de rupture associé est de degré quatre, mais le corps de décomposition de degré 24.

La démonstration est soit fausse, soit très incomplète. Si le groupe est résoluble il faut montrer pourquoi (là réside le cœur de la preuve). En tout état de cause, utiliser un tel marteau-pilon pour écraser une mouche me semble un peu étrange. Voilà une démonstration qui demande une référence sérieuse. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 17:33 (CET)

OK OK je suis allé trop vite en besogne. Cette démonstration est correcte, je l'ai lue dans le Algèbre de Lang (référence très sérieuse, je pense). Donc je vais dans la discussion prendre point par point. L'extension est galoisienne. Un groupe d'ordre 2^k est un p-groupe donc résoluble. Donc un élement dans une extension de degré par exemple 8 pourra s'exprimer avec des racines carrées. Je vais changer en conséquent la preuve. Noky (d) 17 février 2008 à 19:52 (CET)

Lang est évidemment une bonne référence. En revanche, il ne faut pas espérer écrire toujours un élément d'une extension de degré même quatre avec des racines carrées. X4 + X + 1 nécessite déjà des racines cubiques. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 20:13 (CET)

On est d'accord, mais ce n'est pas le cas de la preuve. Noky (d) 17 février 2008 à 20:19 (CET)

L'énoncé du théorème est incontestablement exact : il n'existe pas d'autres extensions finies que C. En revanche indiquer juste que C est stable par racine carré et en déduire qu'il n'existe pas d'extension d'ordre une puissance de deux peut laisser rêveur le lecteur non averti. Voilà pourquoi j'ai détaillé les cinq points qui pouvait étonner. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 18:17 (CET)

De mémoire (je peux me tromper) c'était ainsi que la preuve était présentée, et elle était réservée aux gens qui connaissaient la théorie de Galois, et plus précisément qui savent qu'une extension admettant un groupe de Galois qui est un p-groupe est alors << constructible >> par radicaux (un tout petit peu plus complique en théorie). Et dans ma hâte je l'ai reproduite sans expliquer pour le lecteur ne connaissant pas Galois. Noky (d) 18 février 2008 à 18:27 (CET
Si ma mémoire est bonne, Lang traite les extensions quadratiques dans son Algèbre, j'imagine donc qu'il n'a du juste mettre un rappel rapide vers les pages concernées. Ici, certains lecteurs sont peut être plus novices, voilà pourquoi je donne des éléments pour se raccrocher aux branches. Au pire certains ne retiendront que le fait qu'il n'existe qu'une unique extension quadratique de R et que c'est C, mais ils n'auront pas totalement perdu leurs temps. Pour les spécialistes, le style et les rappels paraitront lourds, mais comme ils savent lire en diagonal, je me fais moins de soucis. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 18:39 (CET)
Totalement convaincu par cette dernière argumentation (bien que l'on n'ai pas vraiment le besoin de parler d'extension quadratique). Noky (d) 18 février 2008 à 19:11 (CET)

J'achète la remarque, j'ai essayé d'améliorer un peu les choses. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 19:23 (CET)