Discuter:Théorème de Bolzano-Weierstrass

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[modifier] Question de terminologie

Ne vaudrait-il pas plutôt énoncer le théorème de Bolzano Weierstrass de la façon suivante : "Un espace métrique (X, d) est compact si et seulement l´adhérence de toute suite d´éléments de X est incluse dans X" ?

En effet, tout élément (xn) de la suite est une valeur d´adhérence : pour tout epsilon > 0 la boule ouverte B(xn, epsilon) contient l´élément xn de la suite. Le terme "point d´accumulation" ne convient pas non plus car la suite (xn) définie par xn = 0 si n est pair et 1 si n est impair n´admet pas de point d´accumulation qui par définition est distinct de 0 et 1.

Le sens direct : "Si X est compact alors il contient l'adhérence de toute suite de ses éléments" n'utilise pas l'hypothèse : (X, d) est un espace métrique. La réciproque utilisant cette hypothèse est plus difficile à démontrer. A mon avis, seule cette réciproque mérite le nom de théorème de Bolzano Weierstrass.

Lanh, 28 janvier 2007

J'imagine que tu voulais parler de l''ensemble des termes de la suite ?

Ton énoncé est faux : tout espace métrique ou espace topologique X contient l'adhérence de tout sous-ensemble de X car l'adhérence est par définition le plus petit fermé contenant cette partie et donc a fortiori une partie de X.

L'adhérence de l'intervalle ouvert (0,1) dans 'R^* est l'intervalle semi-ouvert (0,1].

Le théorème de Bolzano-Weierstrass dit qu'un espace métrique est compact ssi toute suite admet une valeur d'adhérence. Une valeur d'adhérence est une limite d'une sous-suite. Ce n'est pas forcément un point d'accumulation.

Ektoplastor 30 janvier 2007 à 08:57 (CET)

C'est l'expression "... admet une valeur d'adhérence dans X" dans l'énoncé du théorème qui me gêne. Si E non vide est inclus dans un espace topologique F et si x est un élement de E, tout voisinage de x contient évidemment un élément de E : au moins lui-même. Donc x est un point adhérent à E.

Lanh

Une valeur d'adhérence d'une suite n'est pas un point quelconque de l'adhérence de l'ensemble des termes de la suite. C'est une limite d'une suite extraite de la suite. Par exemple $X=]0,1]$· $X$ n'est pas compact parce que la suite (1/n) de $X$ n'a pas de valeur d'adhérence dans $X$ puisqu'aucune suite extraite de cette suite ne converge dans $X$. Oxyde 30 janvier 2007 à 20:18 (CET)

OK, avec cette définition d'une valeur d'adhérence je comprends mieux. A l'avenir je devrai mieux me renseigner sur les définitions. Cependant, soit E = ]0, 1] et la suite définie par un = 0.5 si n est pair et un = 1/n si n est impair. Cette suite possède bien une valeur d'adhérence : a = 0,5 et pourtant la fermeture de {0,5; 1/n} n'appartient pas à E. Ne faudrait-il pas ajouter au théorème : "toutes les valeurs d'adhérence" ou bien plus simplement "l'adhérence de l'ensemble" ?

Lanh.

mais cela doit être vérifié pour toute suite. Oxyde 31 janvier 2007 à 10:40 (CET)

Mea culpa : l'énoncé du théorème est donc exact. Lanh 5 février 2007