Système décimal sans zéro
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Le système décimal sans zéro est un système de numération expérimental visant à montrer que l'humanité aurait pu développer un système positionnel ne faisant pas intervenir le symbole zéro.
Sommaire |
[modifier] Présentation
Avec les nombres zéro (0) et infini (∞) comme cas particuliers.
Les nombres entre guillemets font référence au système standard.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | X | avec X = "10" |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1X | avec 1X = "20" |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 2X | avec 2X = "30" |
... | ||||||||||
91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 9X | avec 9X = "100" |
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | XX | avec XX = "110" |
111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 11X | avec 11X = "120" |
... | ||||||||||
991 | 992 | 993 | 994 | 995 | 996 | 997 | 998 | 999 | 99X | avec 99X = "1000" |
9X1 | 9X2 | 9X3 | 9X4 | 9X5 | 9X6 | 9X7 | 9X8 | 9X9 | 9XX | avec 9XX = "1010" |
X11 | X12 | X13 | X14 | X15 | X16 | X17 | X18 | X19 | X1X | avec X1X = "1020" |
... | ||||||||||
X91 | X92 | X93 | X94 | X95 | X96 | X97 | X98 | X99 | X9X | avec X9X = "1100" |
XX1 | XX2 | XX3 | XX4 | XX5 | XX6 | XX7 | XX8 | XX9 | XXX | avec XXX = "1110" |
1111 | 1112 | 1113 | 1114 | 1115 | 1116 | 1117 | 1118 | 1119 | 111X | avec 111X = "1120" |
Et ainsi de suite, avec :
9 99X = "10 000"
X XXX = "11 110"
99 99X = "100 000"
XX XXX = "111 110"
999 99X = "1 000 000"
XXX XXX = "1 111 110"
9 999 99X = "10 000 000"
X XXX XXX = "11 111 110"
Nous avons donc les puissances de dix :
X*X = 9X
X*X*X = 99X
X*X*X*X = 999X
XX = 9 999 999 99X
[modifier] Énonciation
Voici un exemple d'énonciation des nombres illustrant la régularité du système au travers de ce qu'aurait pu devenir la langue française si elle avait intégré ce système :
- Les unités ne changent pas :
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix.
- Les dizaines peuvent être régularisées :
de unante-un à unante-dix, de vingt-un à vingt-dix, de trente-un à trente-dix, de quarante-un à quarante-dix, de cinquante-un à cinquante-dix, de soixante-un à soixante-dix, de septante-un à septante-dix, de huitante-un à huitante-dix, de nonante-un à nonante-dix, et de décante-un à décante-dix.
- Les centaines commencent à 111 :
de cent-unante-un à dix-cent-décante-dix (XXX).
- Les milliers commencent à 1 111, jusqu'à XXX XXX :
de mille-cent-unante-un à dix-cent-décante-dix-mille-dix-cent-décante-dix.
- Et ainsi de suite avec les millions et milliards.
[modifier] Particularités
[modifier] Orales
- Les puissances de dix sont plus longues à énoncer que dans le système actuel, sans gain inverse compensatoire dans la numération, ce qui ajoute à la difficulté du système.
- Certains termes utilisés dans la numération ne définissent pas, isolément, des nombres : « unante », « vingt », « décante », « cent », « mille », etc. ne constituent des nombres qu'avec d'autres termes leur faisant suite. En leur absence, cette restriction leur permet cependant d'exprimer des intervalles de nombres ; si « unante-dix » est un nombre, « vingt » peut alors être employé pour désigner les nombres de « vingt-un » à « vingt-dix ». Cela, d'une part, est formellement satisfaisant, et conforme à l'usage, car dans « les années mille-neuf-cent », à « mille-neuf-cent » ne correspond pas un nombre, mais bien un intervalle de nombres ; et, d'autre part, permet de remplacer des périphrases, « mille-neuf-cent » étant plus concis que « la dernière centaine du millier » ou que « mille-neuf-cent quelque chose ».
- Une même valeur peut être représentée par différents termes au cours de la numération (dix = unante, cent = décante, mille = dix cents, etc.). Cependant, si chacun de ces doublons exprime bien une même valeur au sein d'un nombre, leur emploi diffère, comme indiqué en présentation et au point précédent.
[modifier] Mathématiques
Ce système ne représente pas les nombres en développement décimal :
- Deux chiffres distincts peuvent, à une position différente, représenter la même valeur : dans l'écriture 1X, 1 et X comptabilisent tous les deux dix unités.
- L'augmentation d'un chiffre n'indique pas le dépassement d'une puissance de dix : X2 < X1 < 111 < X3.
- L'écriture d'un nombre ne correspond pas à sa décomposition en puissances de dix : 4X1 = 5.X2 + 1.
De ce fait, la virgule pose problème :
- Avec la virgule, les nombres ne bénéficient pas d'une représentation unique : 3 = 2,X = 2,9X.
- Le classement ordonné des nombres dans leur écriture n'utilisant pas la même quantité de chiffres après la virgule est peu intuitif : 3,9 < 4 < 3,9X1.
- La virgule ne permet pas de représenter tous les nombres rationnels : ne peut pas s'écrire avec une virgule sans l'intervention d'un zéro positionnel.
La virgule est donc inutilisable. Les nombres fractionnaires doivent être représentés par une autre notation, moins compacte, faisant intervenir une barre de fraction ou la multiplication par une puissance de dix négative.
[modifier] Conclusion
Ce système, grâce à son principe positionnel, est nettement plus performant qu'un système additif, telle la numération romaine. Cependant, son intérêt est surtout de donner un éclairage quant à l'importance du chiffre zéro et à la nature de cette importance, car, si l'invention de ce chiffre n'a rien d'une étape obligatoire dans le développement d'un système numérique positionnel, les propriétés qui découlent de l'utilisation de ce dernier rendent le système simple et élégant. Aussi, la représentation des nombres en développement décimal est pratique et parfaitement légitime.
ROTAS : Il existe pourtant une façon de se passer du zéro, en conservant le X et ses avantages (numération plus économique et plus sûre) tout en évitant les inconvénients mentionnés dans cet article : il suffit de l'utiliser un peu différemment. Il faut, pour trouver la solution, "sortir de la boîte" dans laquelle l'usage du zéro, depuis onze siècles et encore aujourd'hui avec la dictature de l'ordinateur binaire, nous a enfermé. La solution est dans WIKIPEDIA !, et un raisonnement simple permettra de l'y trouver...