Symbole de Levi-Civita d'ordre N
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[modifier] Définition
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, 
, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.
Chaque index peut prendre une valeur quelconque parmi N. Ce symbole principalement vaut 0, sauf si la liste des index est formée de N valeurs distinctes. Dans ce cas, le symbole vaut 1 ou -1, le changement de signe correspondant à une permutation impaire de la liste des index.
Supposons par exemple que la liste des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il y a a priori 44 = 256 valeurs possibles du symbole. Le symbole εttxz vaut 0 parce que l'index t figure deux fois. Si arbitrairement on choisit le signe + pour εtxyz, alors on aura εtxzy = − 1, εtyxz = + 1, εtyzx = − 1, etc. 4!/2 = 12 valeurs valent +1, 12 valeurs valent -1.
[modifier] Tenseur dualiseur
Le symbole de Levi-Civita d'ordre N n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent du système de coordonnées choisi, et par convention 
. En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur dualiseur, ou tenseur de Levi-Civita.
[modifier] Formules
[à écrire]
