Symbole de Hilbert

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En mathématiques, le symbole de Hilbert, nommé d'après le mathématicien allemand de la fin du XIX^e et du début du XX^e siècles, David Hilbert, est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines lois de réciprocité, et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie.

La première définition est basée sur le fait que tout corps de nombres p-adiques contient les racines 2^e de l'unité. Le symbole de Hilbert $(x, y) 2$ de deux éléments non nuls x et y du corps K considéré est alors 1 ou -1 suivant que l'équation $α 2 y + β 2 x = 1$ admet ou non une solution $(α,β)$ dans le corps K. Une telle équation revient en fait à se demander si y est une norme dans l'équation a priori quadratique $K(\sqrt{x})$ .

Cette définition se généralise en un symbole à valeurs dans le groupe des racines de l'unité du corps considéré. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur les différents corps de nombres p-adiques $\mathbb{Q}_p$ on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-èmes pour un corps de nombres dont le groupe des racines de l'unité est un multiple de n.