Surface d'égale pente

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Dans la famille des surfaces paramétrées et orientées de R3, une surface d'égale pente α s'appuyant sur une courbe plane c tracée sur le plan horizontal {z = 0} est l'enveloppe des plans tangents à la courbe c dont la normale fait un angle α avec la verticale.

Sommaire

[modifier] Paramétrisation

On suppose que la courbe c est paramétrée par sa longueur d'arcs. Un paramétrage possible de la surface d'égale pente α s'appuyant sur c est donnée par :

c(s,v)=\begin{pmatrix} x(s)-vy'(s)\cos\alpha\\ y(s)+vx'(s)\cos\alpha\\ v\sin\alpha \end{pmatrix}

Évidemment, une fois la formule donnée, il est facile de vérifier a posteriori que le paramétrage est acceptable. Les éléments de démonstration suivants montrent comment arriver naturellement à poser un tel paramétrage :


Démonstrations
Notons Σ cette surface. Comme c est une courbe tracée sur cette surface, on peut chercher un paramétrage X(s,v) avec X(s,0)γ(s). Évidemment, la raison avancée ne suffit pas à elle seule.
Le vecteur normal...

[modifier] Exemple

[modifier] Dessin graphique

[modifier] Propriétés métriques