Discuter:Structure algébrique

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Voici une liste d'inexactitudes trouvées dans cet article au demeurant bienvenu.

1) Quoique je ne sois pas algébriste, il me semble que "anneau à division" (ou "anneau de division" qu'on trouve aussi avec google), provenant sans doute de la traduction du terme anglais "division ring", n'a pas cours en France où on dit "corps". Ainsi, du moins habituellement, en français un corps peut ne pas être commutatif. On parle du "corps des quaternions" et le célèbre théorème de Wedderbun s'énonce "tout corps fini est commutatif". Donc, à mon avis, il faut changer la terminologie mais aussi noter les correspondances anglais-français.

2) Au sujet des modules, il en existe "à gauche" et "à droite" si l'anneau n'est pas commutatif. Si on suit la modification que je propose au 1) il faut remplacer "corps" par "corps commutatif" dans la définition d'un espace vectoriel. Enfin la définition qui est donnée d'un espace préhilbertien est celle d'un espace préhilbertien réel ; dans le cas d'un préhilbertien complexe, on a un produit hermitien.

3) La définition d'algèbre est obscure et sans doute fausse. Il s'agit d'une loi interne, et bilinéaire. Dans la définition d'une algèbre de Lie, insérer "généralement" devant "non-associative".

4) Dans la définition d'une algèbre de Boole, je pense qu'on dit "complémenté" et non "complémentaire".

5) Pour avoir un groupe topologique, il faut que la loi de composition soit continue, mais aussi l'inverse. CD 21 jan 2005 à 00:55 (CET)

Corrections faites CD 3 fev 2005 à 14:04 (CET)

A propos de 1) : ayant aussi été interpelé par cette notion de corps forcément commutatif, j'avais posé des questions autour de moi. Il me semble que dans la définition en vogue, du moins à l'université de Rennes et dans les programmes officiels (officiels dans toute la France ? ... peut-être pas ... peut-être pas jusqu'à Rouen, mais tu devrais pouvoir vérifier si je dis des bêtises), un corps soit bien un anneau commutatif à éléments inversibles. Peut-être une volonté récente d'harmonisation internationale ? --Aldoo / ✉ 4 fev 2005 à 13:40 (CET)

J'aimerais voir de l'officiel. J'ai lu ce qui est dit dans les volumes "mathématiques" de l'EU (en particulier par Gergondey ; je vais essayer de lui écrire, s'il n'est pas à la retraite - il était à Lille). De toute manière on ne peut pas se contenter de donner la nouvelle version franglaise. J'ai si je puis dire le même problème avec les fonctions hyperboliques qu'ron note aisément à l'angalise grâce à TezX ; je n'ai pas été capable de voir si les anciennes écritures officielles ch, sh, th sont tombées en quenouille. Comme toutes ces choses peuvent apparaître à l'occasion de textes de concours nationaux, et que l'Imprimerie nationale corrige systématiquement les "errements" des rédacteurs (par exemple "log" corrigé en "ln") cela a une certaine importance. CD 4 fev 2005 à 13:56 (CET)

Pour indication, les cours du CNED pour le CAPES de mathématiques ne considèrent pas les corps comme nécessairement commutatifs. Si ça peut aider ...

Sommaire 1 Pas d'accord. 2 Erreur 3 Introduction récursive 4 Semigroupe et compagnie

[modifier] Pas d'accord.

Je suis navré de venir jeter le trouble à propos de cet article, mais je ne suis d'accord qu'avec très peu de choses, et je suis même presque choqué par l'absence de toute référence aux travaux de G. Birkoff (dès 1935) ou à ceux de l'école de Zürich (Manes, Lawvere, etc... années 60). Tous ces mathématiciens ont défini de façon précise ce qu'on doit entendre par structure algébrique, et ignorer leurs travaux (et surtout leurs définitions) ne peut que conduire à dire des choses incorrectes (c'est-à-dire fausses).

En effet, la principale des caractéristiques d'une struture algébrique, est que la catégorie des modèles de cette structure est cartésienne. De même, quand une structure est algébrique, comme celle de groupe ou d'anneau, il existe pour tout ensemble un modèle libre de cette structure sur cet ensemble (groupe libre, anneau libre, etc...).

Or, essayez de faire le produit des corps Z/2Z et Z/3Z dans la catégories des corps. C'est évidemment impossible. De même, il n'existe pas de corps libre sur un ensemble. La structure de corps est donc définitivement non algébrique. D'ailleurs, il y a une façon plus élémentaire de s'en rendre compte. Dans une structure algébrique, toutes les opérations s'appliquent à tous les éléments sans condition. Or dans le cas d'un corps, il y a cette opération d'inversion, qui est soumise à la condition qu'on ne peut pas diviser par zéro. Le principal caractère d'une structure algébrique est qu'on peut y calculer mécaniquement sans réfléchir (en particulier on n'a pas à prouver des choses comme le fait qu'un dénominateur ne doit pas être nul).

A contrario, des structures qui peuvent avoir l'air d'être non algébriques, le sont. C'est le cas de la structure d'espace topologique compact. Ceci est du au fait que le calcul des ultrafiltres n'est soumis à aucune condition.

Il y a évidemment beaucoup de choses à dire sur la notion de structure algébrique, et il me semble qu'un article vraiment moderne sur ce sujet doit exposer les théories de Birkoff et de l'école de Zürich dans leurs grandes lignes. Par ailleurs, toutes les considérations sur les antigroupes, moufang et autres gadgets me semble plus relever du folklore que des mathématiques. Je crois qu'on pourrait s'en dispenser. Par contre, la notion de monoïde est certainement la plus importante de toutes les structures algébrique, ne serait-ce que parce toute structure algébrique est elle-même par définition une monade (cas particulier de monoïde) sur une catégorie.

Je ne me suis pas permis de modifier l'article. J'ai préféré commencer par en discuter. Je suis prêt toutefois à y travailler, mais je ne veux pas le faire sans l'accord des principaux auteurs.

Cordialement.

'DrTopos' Mathématicien Université D. Diderot Paris.

Je suppose que tu veux parler de l'américain Garret Birkhoff (et non Birkoff) ? Il est vrai que, dans l'état actuel des choses, l'article est seulement un inventaire de toutes les structures possibles, des plus anecdotiques aux plus fondamentales. Cet inventaire a son intérêt car il permet de renvoyer sur des articles annexes et ne doit pas être supprimé (on pourrait peut-être essayer d'y mettre en évidence les structures qui semblent fondamentales avec le risque de discussions sans fin du type "on ne doit pas négliger la structure bidule car elle est fondamentale dans la théorie machin") . En revanche un développement historique sur la naissance de la notion de structure et la tentative d'unification de Saunders Mac Lane et Garret Birkhoff ( et de l'école allemande dont je ne sais rien...) à travers la création des catégories et des foncteurs pourrait donner lieu à un paragraphe intéressant. Cependant, il est important de prendre conscience que wikipedia doit pouvoir être lu par d'autres personnes que des agrégés de mathématiques et des chercheurs en mathématiques.On peut faire des mathématiques en bac + 1 et bac + 2 sans entendre parler de catégories. En revanche, toutes les structures jalonnent ces études. Enfin, il ne faut pas être plus Birkhovien que Birkhoff : il présente d'abord toutes les structures corps y compris avant d'exposer sa théorie des catégories. Essayons d'être aussi pédagogue que lui : "Un système algébrique est un ensemble d'éléments quelconques sur lesquelles opèrent des fonctions telles que l'addition et la multiplication, à la seule condition que ces opérations satisfassent à certaines règles de base (S. Mac Lane et G. Birkhoff, Algèbre, chapitre 1 Tome 1Structure fondamentale). Te sens-tu capable de créer ce chapitre pour un lecteur scientifique bac + 1 ou bac + 2 ? En revanche, il existe un article théorie des catégories qui réclame un spécialiste rigoureux et pédagogue. Bonne contribution sur Wikipedia. HB 17 mai 2006 à 09:11 (CEST)

Plus d'un an plus tard, je me dis qu'il conviendrait peut-être de créer un article "Structure (mathématiques)" dans laquelle on expliquerait les généralités, puis renverrait vers le présent article, en expliquant en quoi une srtucture *algébrique* est spécifique.

Je ne me propose pas comme volontaire pour cette création car, bien que titulaire d'un DEA de Mathématiques, je n'ai jamais appris la théories des structures (en revanche, j'ai bien appris celle des catégories ! ;-) ).

Le ci-devant DrTopos me semble être un bon candidat, non ?

--Norailyain 26 juin 2007 à 16:42 (CEST)

[modifier] Erreur

"pseudo-anneau : similaire à un anneau, mais l'ensemble ne possède pas d'élement neutre pour l'addition (dans l'exemple précédent)." C'est incohérent avec l'article anglais (ring) et l'article sur les anneaux. Il s'agit de la multiplication plutôt que l'addition, non?

C'est exact. merci. Article corrigé. HB 25 octobre 2006 à 09:41 (CEST)

[modifier] Introduction récursive

La formulation auto-référentielle de l'introduction est insatisfaisante : L'algèbre est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques. En outre, sur un terme aussi « grand public » que algèbre, un peu plus de vulgarisation serait sans doute bien. Marc Mongenet 10 mars 2007 à 04:18 (CET)

[modifier] Semigroupe et compagnie

La définition de semigroupe (parfois écrit « semi-groupe ») varie suivant les auteurs; un semigroupe désigne :

• soit un magama associatif (définition la plus fréquemment rencontrée au cours de mes lectures);
• soit un magma associatif, unifère et régulier.

(désolé pour l'absence de citations de sources, je ne les ai pas sous la main pour l'instant, et je préfère m'abstenir plutôt que de commettre des erreurs en citant quelqu'un de mémoire - mais je compte bien profiter du week-end pour établir une liste de références)

Plus précisément, de mémoire:

• les magmas associatifs sont désignés tantôt comme des semigroupes, des demigroupes, voire des monoïdes;
• les magmas associatifs et unifères sont qualifiés de monoïdes (quand on leur donne un nom);
• et les magmas associatifs, unifères et réguliers sont baptisés monoïdes, prégroupes ou semigroupes...

Mais c'est la première fois que je rencontre un semigroupe défini comme magma associatif et régulier, suite à la modification de Berthiap. Comme il s'agit d'une définition indirecte (il définit d'abord un demigroupe comme magma associatif, puis semigroupe comme demigroupe régulier), je pense qu'il s'est mélangé les pinceaux quelque part et je corrige provisoirement a minima en remplaçant demigroupe par magma associatif et unifère dans la définition du semigroupe.

Une fois mes références disponibles, je compte corriger en privilégiant d'abord la cohérence entre les définitions, puis la fréquence d'utilisation. En tous cas j'indiquerai au moins en note toutes les variantes de définition que j'aurai relevées (avec les références associées, évidemment).

à Berthiap : si tu veux supprimer du texte, OK. Mais prend au moins la peine d'expliquer tes raisons sur la page de discussion; elle est là pour ça.

83.145.100.34 (d) 7 mars 2008 à 11:04 (CET)

Et bien "on n'est pas rendu",

• J.Rivaud, Algèbre, Vuibert,1978, appelle un magma associatif un monoïde (dit aussi demi-groupe)
• S.MacLane et G.Birkhoff, Algèbre, Gauthier-Villars, 1971, donnent le nom de semi-groupe à un magma associatif. Le monoïde est pour eux un magma associatif unifère.
• L. Chambadal, Dictionnaire des mathématiques modernes, Larousse 1969, définit le monoïde comme un magma associatif et précise que certains auteurs supposent aussi l'existence d'un élément neutre.
• C. Deschamps et A. Warusfel, cours de mathématiques 1er année MPSI..., Dunod, 1999, définit le monoïde comme un magma associatif unifère
• Les articles de wikipedia établissent la hiérarchie : demi-groupe - monoïde - semi-groupe

(enfin aucun des auteurs ne semble demander au monoïde d'être régulier). Pas d'autres sources mais j'ai une faiblesse pour MacLane et Birkhoff sachant que la définition semble encore d'actualité (Deschamps - Warusfel). Reste à voir Bourbaki....Le terme de semi-groupe employé par Mac-Lane est une traduction de J.Weil. du terme anglais Semigroup. HB (d) 7 mars 2008 à 13:34 (CET)

Chose promise, chose due... Voici quelques-unes des références sur lesquelles je me suis appuyé, concernant les semi-groupes, demi-groupes et autres monoïdes, par ordre d'ancienneté d'édition :

• Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacobin, Leçons d'Algèbre Moderne, Dunod, 1961 ; une référence intéressante ; il semble que Paul Dubreil ait été l'un des premiers a utiliser le nom « demi-groupe » pour désigner un magma associatif, dès sa thèse dans les années quarante. Par contre, il emploie le terme de monoïde comme synonyme de demi-groupe, et définit un semi-groupe comme un magma associatif, unifère, régulier et commutatif. Il a visiblement comme exemple en tête...
• N. Bourbaki, Eléments de Mathématique - Algèbre, diffusion CCLS, 1970 ; appelle monoïde un magma associatif et unifère. A part cela, ne donne aucun nom aux structures intermédiaires entre celle de magma et celle de groupe. Bref, ne règle pas la question.
• Claude Mutafian, Le Défi Algébrique, Vuibert, 1975 ; a souvent des conceptions personnelles et se pose en opposant à Bourbaki; comme structure intermédiaire, ne connait que les semi-groupes, qu'il définit comme ensembles munis d'une loi associative.
• Lucien Chambadal, Dictionnaire de Mathématiques, Hachette, 1978 ; il doit s'agir de l'édition de poche de l'ouvrage cité par HB. Il ne connait toujours que les monoïdes, mais ses idées sur le sujet semblent avoir évolué : il définit désormais un monoïde comme un magma associatif et unifère.
• Bernard Charles et Denis Allouch, Algèbre Générale, PUF Mathématiques, 1984 ; un ouvrage sérieux, à mon avis. Pour ses auteurs, un demi-groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative et un monoïde un demi-groupe unifère, mais ils ignorent les semi-groupes.
• Thierry Bruyère et Alain Mollard, Mathématiques à l'usage des informaticiens, Ellipses, 2003 ; ne connaissent que les monoïdes, définis dans une annexe comme des ensembles munis d'une loi interne associative et qui admet un élément neutre.

A ces références, on peut ajouter deux articles des Techniques de l'Ingénieur :

• Michel Maillé, Ensembles et Structures Algébriques. Applications., A 118 ; l'auteur considère les demi-groupes comme des ensembles munis d'une loi de composition interne associative, et les monoïdes comme des demis-groupes munis d'un élément neutre. A noter : l'article signale que demi-groupe se dit en anglais semi-group, et qu'en français, l'expression semi-groupe est aussi employée, mais dans un sens différent.
• Bernard Randé, Langage des Ensembles et des Structures, AF 33 ; ici, un monoïde est un magma associatif possédant un neutre, et un semi-groupe un monoïde dont tout élément est simplifiable (c'est-à-dire régulier).

Ces deux articles semblent se compléter quant aux définitions, bien que le premier date des années '60 ou '70, et le second des années '90, ce qui laisse à penser qu'ils ne figurent plus dans la version la plus récente de cette encyclopédie.

Récapitulons. Dans toutes les références rencontrées :

• un demi-groupe désigne toujours un magma associatif;
• un monoïde désigne un magma associatif muni ou non suivant la référence d'un élément neutre.

Cependant, il semble que depuis la fin des années '70, le monoïde ne désigne plus qu'un magma associatif et unifère, à l'exclusion de tout autre ; l'influence de Bourbaki, peut-être...

Il reste le cas du semi-groupe : il peut désigner un magma associatif, mais cela fait double emploi avec « demi-groupe » ; de plus, il semble qu'il s'agisse d'une contamination par l'anglais (comme pour « corps »). Il reste alors la signification magma associatif, unifère et régulier, qui semble s'être dégagée assez récemment.

Bref, on retrouve la hiérarchie   magma > demi-groupe > monoïde > semi-groupe > groupe &nbsp , telle qu'elle existe déjà dans Wikipedia. Les seules corrections à apporter sont donc, me semble-t-il, de rajouter une note qui signale l'existence des définitions alternatives de ces différents termes.

Bon. Vu l'heure, il est temps de plagier les Shadoks et de déclarer : « C'est tout pour aujourd'hui ! »

83.145.100.34, alias/aka 62.147.17.89 (d) 11 mars 2008 à 02:35 (CET)