Sous-groupe de Hall

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Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Exemple
4 Notes et références

[modifier] Définition

Soit $G$ un groupe fini. Un sous-groupe de $G$ est appelé un sous-groupe de Hall de $G$ si son ordre est premier avec son indice dans $G$ . Autrement dit, un sous-groupe $H$ de $G$ est dit sous-groupe de Hall si $| H |$ est premier avec $\frac{|G|}{|H|}$ .

[modifier] Propriétés

Si $H$ est un sous-groupe de Hall normal de $G$ , il est caractéristique dans $G$ .^[1]

Démonstration

Soient $\ r$ l'ordre de $\ H$ , $\ s$ son indice dans $\ G$ et $\ x$ un élément de $\ G$ n'appartenant pas à $\ H$ (si un tel élément n'existe pas, c'est que $\ H=G$ ). L'image $\ x'$ de $\ x$ par l'homomorphisme canonique $\ G$ sur le quotient $\frac G H$ est distincte de l'élément neutre. Comme ce quotient est un groupe d'ordre $\ s$ premier avec $\ r$ , $\ x'^{r}$ est donc lui aussi distinct de l'élément neutre et $\ x^{r}$ l'est donc aussi dans $\ G$ (son image étant $\ x'^{r}$ ). Ainsi, $\ H$ est l'ensemble des solutions de l'équation $\ x^{r} = 1$ et est donc caractéristique.

Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence (sous des hypothèses qu'on ne précisera pas ici) est non seulement normal mais caractéristique^[2].

P. Hall a prouvé que si $G$ est un groupe fini, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

- pour tout diviseur $d$ de $| G |$ tel que $d$ soit premier avec $\frac{|G|}{d}$ , il existe un sous-groupe (de Hall) d'ordre $d$ de $G$

- $G$ est résoluble

Dans ce cas, les sous-groupes de Hall d'un ordre donné de $G$ forment une classe de conjugaison dans $G$ .

Ainsi Hall étend aux sous-groupes de Hall le théorème classique sur l'existence des $p$ -sous-groupes de Sylow d'un groupe fini $G$ , mais cette extension n'est vraie que si et seulement si $G$ est résoluble.^[3].

[modifier] Exemple

Tout sous-groupe de Sylow de $G$ est un sous-groupe de Hall de $G$ .

[modifier] Notes et références

↑ J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., 2^e tirage, 1999, exerc. 5.26, p. 107; exerc. 5.31, p. 111.
↑ J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., 2^e tirage, 1999, théor. 7.50, p. 196.
↑ J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., 2D tirage, 1999, théor. 5.28, p. 108 et théor. 5.29, p. 110.