Utilisateur:Salle/Brouillon2
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En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-simple constitue une généralisation de la notion de matrice diagonalisable. Elle permet de discriminer dexu types d'obstruction à la diagonalisabilité : d'une part les obstructions liées à l'arithmétique du corps de coefficients dans lequel la matrice est considérée, et d'autre part les obstructions qui demeurent indépendantes de ce corps.
Une matrice A à coefficients dans un corps est dite semi-simple sur si tout sous-espace invariant par A possède un supplémentaire invariant par A.
[modifier] Résultats généraux
La semis-simplicité se caractérise à l'aide du polynôme minimal de la matrice considérée : une matrice à coefficients dans est semi-simple si et seulement si son polynôme minimal est sans facteur carré (c'est-à-dire qu'il n'admet aucun diviseur qui soit le carré d'un autre polynôme) dans .
En particulier, dans le cas où toutes les racines du polynôme minimal de A appartiennent à , ceci se particularise en : A est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable.
Si le corps des coefficients a la propriété d'être parfait (par exemple tout corps de caractéristique nulle ou tout corps fini), c'est-à-dire que tous les polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps n'ont que des racines simples dans une clôture algébrique de ce corps, la caractérisation peut s'écrire : une matrice est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable dans une clôture algébrique du corps.
Si le polynôme minimal M de A admet un carré P2 comme diviseur, alors la matrice A n'est pas semi-simple. En effet, le sous-espace Im(P(A)) est dans ce cas un sous-espace stable, et, si S désigne un supplémentaire stable de ce sous-espace, alors d'une part par stabilité, et d'autre part, car P divise M/P. Il s'en suit que M/P est un polynôme annulateur de A, en contradiction avec la définition de polynôme minimal. Réciproquement, si le polynôme minimal M de A est sans facteur carré, que S désigne un sous-espace stable par A, alors le polynôme minimal N de A considéré en restriction à S est un diviseur de M. On vérifie alors que S est le noyau de N(A), et admet comme supplémentaire stable M/N(A).
Dans le cas d'un corps parfait, le polynôme minimal est sans facteur carré si et seulement s'il est séparable, c'est-à-dire qu'il se scinde en facteurs simples dans une clôture algébrique de K. On reconnaît bien une caractérisation classique de la diagonalisabilité dans une clôture algébrique.
[modifier] Un exemple dans un corps non parfait
Soit le corps à deux éléments, et soit , le corps des fractions rationnelles en X2 sur . Définissons la matrice
Le polynôme caractéristique de cette matrice est χ(Y) = Y2 − X2. Ce polynôme est irréductible ; en effet, s'il était produit de deux facteurs non triviaux, ces deux facteurs seraient de degré 1, et on aurait donc des éléments P,Q,R,S,p,q,r et s de tels que
avec P,Q,R,S des polynômes en X2 = ξ non nuls. On tire des relations
la condition
ξr(ξ)2S(ξ)2 = R(ξ)2s(ξ)2.
On ne peut choisir quatre polynômes différents de 0 tels que cette relation ait lieu, puisque dans , ξ n'est pas un carré. Ni R ni S ne sont nuls, donc r et s doivent être simultanément nuls. Mais ceci contredit la relation pr = PR, puisque ni P ni R ne sont nuls. On a donc montré que χ est irréductible. Bien entendu, le polynôme minimal de A est aussi irréductible, et sur , A est semi-simple.
Soit ; dans L, le polynôme χ a la racine double X, ce qui prouve que est une extension algébrique de degré 2 de . Soit la base de formée de
et
on a
Au = Xu,Av = Xv + u
et donc dans cette base, la matrice A est transformée en
soit une forme de Jordan.
La matrice A n'est donc pas semi-simple sur l'extension de .