Système modulaire de représentation : RNS

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En mathématiques, dans la branche de l'arithmétique modulaire, un système modulaire de représentation est un outil utilisé en cryptographie. Les systèmes modulaires de représentation des nombres (Residue Number System) sont une application du théorème des restes chinois. Les nombres sont représentés par leurs restes modulo un ensemble de valeurs premières entre elles. On peut définir une addition et une multiplication qui vont ainsi s'effectuer sur chaque module de façon indépendante.

Il est ainsi possible d'avoir des calculs parallèles sans propagation de retenues.

Sommaire

1 Définitions
2 Opérations
- 2.1 Addition et multiplication
- 2.2 Division

[modifier] Définitions

Soit $\{m_1,m_2,\ldots,m_n\}$ un ensemble de modules mutuellement premiers entre eux. On l'appelle la base RNS.

On note $M=\prod_{i=1}^n m_i$

Soit $X$ un entier positif inférieur à $M$ avec $x_i \equiv X\pmod{m_i}$ . La famille $\{x_1,\ldots,x_n\}$ est appelée représentation RNS de $X$ .

D'après le théorème des restes chinois, la représentation RNS de chaque entier positif $X$ inférieur à $M$ est unique.

[modifier] Opérations

[modifier] Addition et multiplication

Soit $A$ et $B$ deux entiers naturels positifs de représentations respectives $\{a_1,\ldots,a_n\}$ et $\{b_1,\ldots,b_n\}$ . Sur l'ensemble des nombres en représentation RNS, on peut définir les opérations suivantes :