Relation de dispersion

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche concernant la physique théorique.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation ω et le vecteur d'onde \vec{k} d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie E et sa quantité de mouvement \vec{p}.

Sommaire

[modifier] Exemples

[modifier] Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice n indépendant de la pulsation. En notant : k = || \vec{k} ||, la relation de dispersion s'écrit :

\omega \ = \ \frac{c}{n} \ k

La vitesse de phase est alors constante :

v_{\varphi} \ = \ \frac{\omega}{k} \ = \ \frac{c}{n}

et est égale à la vitesse de groupe :

v_{g} \ = \ \frac{d\omega}{dk} \ = \ \frac{c}{n}

[modifier] Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice n dépend de la pulsation. En notant : k = || \vec{k} ||, la relation de dispersion s'écrit :

\omega \ = \ \frac{c}{n(\omega)} \ k

La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation :

v_{\varphi} \ = \ \frac{\omega}{k} \ = \ \frac{c}{n(\omega)}

La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :

v_{g} \ = \ \frac{d\omega}{dk} \ = \ \frac{d(k \, v_{\varphi})}{dk} \ = \ v_{\varphi} \ + \ k \ \frac{d v_{\varphi}}{dk}

[modifier] Particule non relativiste de masse m

En notant : p = || \vec{p} ||, la relation de dispersion s'écrit :

E \ = \ \frac{p^2}{2m}

[modifier] Particule relativiste de masse m

E \ = \ \sqrt{p^2 \, c^2 \ + \ m^2 \, c^4 \ }

[modifier] Particule relativiste de masse nulle

E \ = \ p \, c

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

[modifier] Notes