Ramification
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En mathématiques, la ramification est un terme géométrique utilisé pour exprimer l'embranchement extérieur, dans la manière dont la fonction racine carrée, pour les nombres complexes, peut être vue lorsqu'elle possède deux branches différant dans le signe. Il est aussi utilisé d'une perspective opposée (branches arrivant ensemble) comme lorsqu'une application couvrante dégénère à un point de l'espace, avec un certain effondrement mutuel des fibres de l'application.
Sommaire |
[modifier] Dans l'analyse complexe
En analyse complexe, le modèle de base peut être pris comme l'application
dans le plan complexe, proche de z = 0. Ceci est l'image locale standard dans la théorie des surfaces de Riemann, de ramification d'ordre n. Elle apparaît par exemple dans la formule de Riemann-Hurwitz pour l'effet des applications sur le genre.
Article détaillé : Point de branchement.[modifier] En topologie algébrique
Dans un revêtemement, la caractéristique d'Euler-Poincaré devrait être multipliée par le nombre de feuilles; la ramification peut par conséquent être détectée par cela. L'application 
montre ceci comme un motif local : si nous excluons 0, en prenant 0 < |z| < 1, nous avons (à partir du point de vue homotopique) le cercle couvert par lui-même par l'application puissance n-ème (caractéristique Euler-Poincaré 0), mais avec le disque entier, la caractéristique Euler-Poincaré est 1, n-1 étant les points 'perdus' comme les n feuilles se rassemblent au point z = 0.
En termes géométriques, la ramification qui se produit en codimension deux (comme la théorie des noeuds et la monodromie); puisque la codimension deux réelle est la codimension un complexe, l'exemple local complexe place le modèle pour les variétés complexes de dimensions plus élevées. En analyse complexe, les feuilles ne peuvent pas se plier le long d'une droite (une variable) ou un sous-espace de codimension un dans le cas général. L'ensemble de ramification (lieu de la branche sur la base, double point placé ci-dessus) seront de deux dimensions plus basses que la variété ambiante, et donc ne se séparera pas en deux 'cotés', localement - il y aura des chemins qui traceront autour du lieu de la branche, juste comme dans l'exemple. En géométrie algébrique sur n'importe quel corps, par analogie, elle apparaît aussi en codimension algébrique un.
[modifier] En théorie algébrique des nombres
Article détaillé : Décomposition des idéaux premiers.En théorie algébrique des nombres, on parle de ramification d'un idéal premier, lorsque le prolongement de cet idéal à un surcorps admet au moins un facteur premier ayant une multiplicité plus grande que 1. Plus précisément, soit 
l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques K et P un idéal premier de . Pour une extension finie de corps L de K, soit 
la clôture intégrale de dans L. On considère l'idéal 
de . Cet idéal peut ne pas être premier, mais il se décompose en un produit d'idéaux premiers (voir anneau de Dedekind) :
où 
sont des idéaux premiers distincts dans . Alors P est dit ramifié dans L si un certain e(i) > 1. Une condition équivalente est que 
possède un élément nilpotent différent de zéro - qui n'est pas un produit de corps finis. L'analogie avec le cas des surfaces de Riemann fut déjà indiquée par Dedekind et Heinrich Weber au XIXe siècle.
La ramification est modérée lorsque les e(i) sont tous différents de la caractéristique du corps résiduel 
. Cette condition est importante dans la théorie des représentations galoisiennes.
[modifier] Voir aussi
- Polynôme d'Eisenstein
- Polygone de Newton
- Développement de Puiseux
