Racine d'un polynôme

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En mathématiques, une racine d'un polynôme P est un nombre qui annule le polynôme, ou plus exactement la fonction polynôme associée à P.

Par exemple, si P est le polynôme $X 2 - 1$ , alors 1 et -1 sont des racines de P. Le polynôme $X 2 + 1$ n'a pas de racine réelle, mais a $i$ et $- i$ comme racines complexes.

Par abus, certains appellent racine d'une fonction f, un zéro de la fonction f.

Sommaire

1 Définition formelle
2 Propriétés
3 Multiplicité des racines
4 Relations entre les coefficients et les racines
5 Considérations historiques
6 Liens externes

[modifier] Définition formelle

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif. Une racine d'un polynôme $P$ de $\mathbb{K}[X]$ est un élément $α$ de $\mathbb{K}$ tel que $\tilde{P}(\alpha)=0$ où $\tilde{P}$ est la fonction polynôme associée au polynôme $P$ .

[modifier] Propriétés

Si un polynôme $P$ de $K [X]$ admet une racine $a$ alors il existe $Q$ un polynôme de $K [X]$ tel que $P = (X - a). Q (X)$ .

Si $K$ est un corps algébriquement clos alors un polynôme $P$ de $K [X]$ a exactement $d e g (P)$ racines (compté avec multiplicité).

[modifier] Multiplicité des racines

On dit qu'une racine $a \in K$ a un ordre de multiplicité $n$ pour le polynome $P$ si et seulement si $(x - a) n$ divise $P$ mais $(x - a) n + 1$ ne divise pas $P$ . Autrement dit ont peut écrire $P (X) = (x - a) n Q (X)$ avec un polynome $Q$ tel que $Q(a)\neq 0$ .

[modifier] Relations entre les coefficients et les racines

[modifier] Considérations historiques

Une part importante des mathématiques s'est développée autour de la recherche de racines de fonctions, et plus particulièrement des polynômes. L'étude des racines de polynômes de degré 3 a mené à la découverte des nombres complexes. De nombreux polynômes réels n'admettent pas de racine réelle, toutefois, le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme de degré n (supérieur ou égal à 1) admet n racines complexes, comptées avec leurs ordres de multiplicité.

Un des plus importants problèmes irrésolus à ce jour en mathématiques concerne la localisation des racines de la fonction zêta de Riemann.