Discuter:Réduction d'endomorphisme
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La définition d'une valeur propre d'endomorphisme utilisée dans l'article prête à confusion. Étant donné un endomorphisme u d'un K-espace vectoriel de dimension finie, on appelle habituellement valeur propre de u tout élément λ de K tel qu'il existe un vecteur non nul x de E vérifiant u(x) = λ x, autrement dit, tel que u - λ id soit non bijectif ; avec cette définition, on peut caractériser les valeurs propres de u comme étant les racines dans K du polynôme caractéristique de u.
La confusion vient de ce que ce polynôme caractéristique peut avoir des racines dans un sur-corps de K. Par exemple, si E est un R-espace vectoriel de dimension 2, si (e1, e2) est une base de E, et si u est l'endomorphisme de E tel que u(e1) = e2, u(e2) = - e1, alors u n'admet aucune valeur propre (au sens précédent) : il n'existe aucun réel λ tel que u - λ id soit non bijectif ; le polynôme caractéristique est X2 + 1, qui n'admet aucune racine réelle ; mais considérer ses racines non réelles i, -i comme des valeurs propres de u (endomorphisme d'un R-espace vectoriel) est abusif.
La situation est un peu différente pour les matrices. Par exemple, si A est une matrice carrée réelle d'ordre n (qu'on peut donc considérer aussi comme une matrice carrée complexe):
- le spectre réel de A est l'ensemble des réels λ tels que A - λ I soit non inversible (c'est l'ensemble des valeurs propres de l'endomorphisme de
canoniquement associé à A), et de même, - le spectre complexe de A est l'ensemble des complexes λ tels que A - λ I soit non inversible (c'est l'ensemble des valeurs propres de l'endomorphisme de
canoniquement associé à A). Vivarés 4 novembre 2005 à 01:07 (CET)
[modifier] Ajouts
(from the planet) Gong 21 décembre 2005 à 23:10 (CET)
J'ai ajouté une demonstration ; il manque maintenant le retour. J'ai modifié les implication (remplacé => par le symbole mathématique) J'ai ajouté un lien vers un critère de diagonalisabilité.
[modifier] Intro trop longue
Cette intro est faite pour être restructurée, et insérer dans le texte, l'objectif est la description des contextes et des différentes techniques de réductions. C'est le début d'une restructuration de l'article pour le rendre compatible avec les autres articles WP qui gravitent autour du concept. Jean-Luc W 15 avril 2006 à 13:48 (CEST)
[modifier] Redirection
Les éléments de l'article qui sont retranchés sont redirigés et non supprimés, vers les articles comme, par exemple, Réduction de matrice. Jean-Luc W 16 avril 2006 à 12:12 (CEST)
