Règle du parallélogramme

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En mathématiques, la forme la plus simple de la règle du parallélogramme est celle de géométrie élémentaire. Elle dit que la somme des carrés des longueurs des quatre cotés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales. Dans le cas où le parallélogramme est un rectangle, les diagonales sont de longueurs égales ce qui ramène cette règle au théorème de Pythagore

[modifier] La règle du parallélogramme dans les espaces préhilbertiens

Dans les espaces préhilbertiens, la règle du parallélogramme revient à cette identité algébrique :

$2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2$

où

$\|x\|^2=\langle x, x\rangle.$

Elle est vérifiée pour tous les espaces de Hilbert.

[modifier] Espaces normés satisfaisant la règle du parallélogramme

Beaucoup d'espaces vectoriels normés n'ont pas de produit scalaire mais comme ils ont une norme, ils peuvent évaluer tous les termes de l'identité précédente de la règle du parallélogramme. Un fait remarquable est que l'identité reste valide seulement si la norme est une norme qui se déduit d'un produit scalaire. De plus le produit scalaire qui génère cette norme est unique, par la conséquence de l'identité de polarisation. Dans le cas réel il est donné par :

$\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},$