Quantificateur (logique)

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Les expressions « pour tout » et « il existe » utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats sont appelées des quantifications et le symbole qui les représente en langage formel est appelé un quantificateur.

[modifier] Quantification universelle

La quantification universelle est représentée en notations mathématiques par un A à l'envers (∀) ; elle exprime "pour tout" ou "quel que soit".

Par exemple, l'assertion, exprimée en langue naturelle,

pour tout x, x satisfait la propriété P

s'énonce formellement :

∀x P(x)

La notation ∀ vient de l'allemand Alle (qui signifie « tout » en français).

[modifier] Quantification existentielle

La quantification existentielle est représentée par un E retourné (∃) ; elle exprime « il existe un ». Cette notation peut être suivie d'un ! ce qui indique l'unicité de l'élément qui suit, la signification devient alors « il existe un unique ». Par exemple, l'assertion, exprimée en langue naturelle,

il existe un x qui satisfait la propriété P

s'énonce formellement :

∃x, P(x)

tandis que

il existe un unique n, (suivi d'un prédicat)

s'énonce formellement :

∃! n, suivi du prédicat

La notation ∃ vient de l'allemand Existieren.