Puissance d'un point par rapport à un cercle

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En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme

$P(M)=OM^2-R^2\,$

Sommaire

1 Propriété fondamentale et définition
2 Axe radical de deux cercles
3 Centre radical de trois cercles
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Lien externe

[modifier] Propriété fondamentale et définition

Si M est un point et Γ est un cercle de centre O et de rayon R, alors, pour toute droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B, on a :
MA × MB = |MO² - R²|. Cette valeur ne dépend pas de la droite choisie mais seulement de la position de M par rapport au cercle.

On peut remarquer que :

si M est à l’extérieur du cercle, MA × MB = MO² - R²
si M est à l’intérieur du cercle , OM² - R² = - MA × MB . Ce produit correspond au produit des mesures algébriques de MA et MB

On appelle alors puissance du point M par rapport au cercle Γ le produit des mesures algébriques de MA et MB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours MO² - R² :

$\overline{MA}\cdot\overline{MB} = MO^2-R^2 = P_\Gamma(M)\,$

Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact d'une de ces tangentes, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle OMT, la puissance de M est $P Γ (M) = M T 2$ .
L'égalité MA × MB = MT² est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si A, B, C, D sont quatre points tels que(AB) et (CD) se coupent en M et si $\overline{MA} . \overline{MB} =\overline{MC} . \overline{MD}$ (ce sont les mesures algébriques) alors les quatre points sont cocycliques.

Démonstration : angles inscrits et triangles semblables - cas où M est extérieur au cercle

L'angle inscrit $\widehat {BAT}$ interceptant l'arc BT est égal à l'angle $\widehat {BTT'}$ de la corde [TB] et de la tangente [TT'). Les angles supplémentaires $\widehat {MAT}$ et $\widehat {MTB}$ sont aussi égaux et les triangles MAT et MTB ont cet angle égal et l'angle $\widehat M$ en commun : ils sont donc semblables.

Des rapports de similitude égaux $\frac {MA} {MT} = \frac {MT} {MB}$ on déduit, avec l'égalité des produits des extrêmes et des moyens, que MA × MB = MT². Il résulte que le produit MA × MB ne dépend pas de la sécante mais seulement du point M.

En particulier pour la sécante (MO) la puissance du point M est aussi MC × MD = (MO - OC) × (MO + OD) = MO² - OD² = MO² - R².

[modifier] Axe radical de deux cercles

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.

On considère deux cercles c(O, R) et c'(O', R') avec O et O' distincts. L'ensemble des points M de même puissance par rapport aux deux cercles vérifie :

p_c(M) = MO² - R² = p_c'(M) = MO'² - R'², soit MO² - MO'² = R² - R'².

Soit I le milieu de [OO'] et K la projection de M sur (OO'). D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle MOO', on a : $2\overrightarrow{OO'}.\overrightarrow{IK} = R^2 - R'^2$ .
Tous ces points M ont le même projeté orthogonal sur la droite (II’), et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté K.
L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à ligne des centres passant par K.

Si les cercles sont sécants l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur (MS = MS' dans la figure ci-contre).

En particulier si les cercles sont extérieurs et admettent une tangente commune (TT'), le milieu J de [TT'] appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical.