Polynôme symétrique
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En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme invariant par permutation de ses variables. Ils jouent notamment un rôle dans le lien entre les coefficients et les racines des polynômes.
[modifier] Définition
Dans un espace de polynômes à plusieurs indéterminées, un polynôme P(T1,...,Tn) est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices [1,n], l'égalité suivante est vérifiée : Pour n=1, tout polynôme est symétrique. Pour n=2, le polynôme T1+T2 est symétrique alors que le polynôme T1-T2 ne l'est pas, du moins en caractéristique différente de 2 (puisque la transposition des indices transforme le polynôme en son opposé).
Les polynômes symétriques forment une sous-algèbre de . Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires : ce sont les polynômes , pour définis par :
En particulier, , et . Plus précisément, le morphisme d'algèbre défini par :
est un isomorphisme à valeurs dans l'algèbre des polynômes symétriques[1]. Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton.
Dans le contexte de la théorie des polynômes à une indéterminée, si un tel polynôme admet une factorisation en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme P sont donnés comme fonctions symétriques des racines zi, c'est-à-dire :
[modifier] Notes et références
- ↑ voir par exemple Algèbre commutative de Rémi Goblot, théorème 7.3. Dunod.