Polynôme de Legendre

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Polynômes de Legendre
Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre.

Sommaire


[modifier] Equations Différentielles

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\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}\right]+n(n+1)y=0

où n est un entier naturel représentant l'ordre du polynôme.

On définit ainsi le polynôme de Legendre \mathcal{L}P=n(n+1)P

[modifier] Autres Définitions

[modifier] Définition Classique

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On définit simplement le polynôme comme:

P_n(x)=\frac{1}{n! 2^n}\frac{d^n}{dx^n}\left((x^2-1)^n\right)

[modifier] Définitions Analytiques

On peut aussi les définir par l'intégrale de contour :

P_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int(1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens des aiguilles d'une montre.

On définit ce polynôme sous forme de plusieurs sommes:

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}


P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}


P_{n}(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k \qquad \mathrm{pour}\qquad x \ne -1

ou encore par:

P_{n}(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k \qquad \mathrm{pour}\qquad x \ne 1

Ces formulations permettent de calculer certaines valeurs intéressantes des polynômes.On obtient ainsi que la parité du polynôme dépend de la parité de n:

P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)\,

[modifier] Matrice de la fonction polynômes de Legendre

\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & \vdots & 0 &\vdots & 0\\ 0 & 2 & 0 & -6 & 0 &\vdots & 0&\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 6 & 0 & -12 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 20 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\ddots & \vdots &\dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & k(k+1) &\dots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots &\ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & 0 &\dots & n(n+1)\\ \end{pmatrix}

On remarquera que les vecteurs propres de cette matrice sont colinéaires aux polynômes.[1]

[modifier] Quelques Polynômes

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre.
Les 20 premiers polynômes de Legendre.
  • P_{0}(x)=1 \,
  • P_{1}(x)=x\,
  • P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,
  • P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,
  • P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,
  • P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,

La relation de récurrence entre les différents polynômes s'écrit:

  • (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x) - nP_{n-1}(x)\,

[modifier] Orthogonalité

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1: Ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire \varphi défini sur \R[X] par la relation :

\varphi(P,\, Q) = \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, dx.
\varphi(P_m,\, P_n)\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,dx = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n

[modifier] Orthonormalité

La norme ,calculée comme \sqrt[]{\int_{-1}^{1} P_n^2(x)\,dx} est:

||P_n||=\sqrt[]{\frac{2}{2n+1}}


Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt transforme l'écriture des polynomes de Legendre [2]en:

\overset{\sim}{P_n(x)}= \frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt[]{\frac{2n+1}{2}}P_n(x)

[modifier] Autres Propriétés

[modifier] Parité

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n .On peut exprimer cette proprieté comme:

P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,

On démontre cette proprieté a l'aide des définitions sous forme de somme.

[modifier] Points Particuliers

Comme beaucoup de polynômes orthogonaux classiques comme les polynômes de Tchebychev et de Hermite les polynômes sont rigoureusement définis. Les propriétes suivantes sont demontrées facilement en étudiant la parité des polynômes et les conditions aux bornes.

P_{k}(1) = 1 \,
P_{k}(-1) = (-1)^n \,
P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n}{k} \binom{4n-2k}{2n}0^{n-k} \,
P_{2n+1}(0) = 0 \,

[modifier] Applications en Physique

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[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

  1. ↑ Banque PT ,TSI Algebre,Géométrie,Analyse,Editions Ellipse 1993 ,
  2. ↑ Extrait du 1er sujet de Mathématiques de l'agrégation 1989

[modifier] Bibliographie

  • I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik ; Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6e édition - 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : www.mathtable.com
  • De Nockere ;Tables numériques des polynômes de Legendre , ARB (8e edition - 1949 ) Académie Royale des Sciences des Lettres des Beaux Arts de Belgique

[modifier] Références

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