Petit groupe

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En relativité, on appelle petit groupe le sous-groupe des transformations de Lorentz ${\Lambda^\alpha}_\beta$ dont les éléments laissent invariant une quadri-impulsion $p α$ donnée. Si ${W^\alpha}_\beta$ est un membre de ce groupe, on a donc :

$p^\alpha = {W^\alpha}_\beta p^\beta$

[modifier] Structure du petit groupe (cas particulier)

(Nous adoptons ici comme métrique lorentzienne $η μν$ de signature $( + , - , - , - )$ , ainsi que le système d'unités « naturelles » où $\hbar = c = 1$ )

Considérons, par exemple, une particule matérielle de quadri-impulsion $p^\alpha \neq 0$ . Il existe alors un référentiel lorentzien dans lequel cette particule est au repos ; on peut donc y écrire : $p α = t (M,0,0,0)$ .

Tout élément du petit groupe correspondant doit donc vérifier : $p^\alpha = {W^\alpha}_\beta p^\beta$ . Donc, en particulier : $p^0 = {W^0}_0p^0 (+ 0 + 0 + 0)$ , c'est-à-dire ${W^0}_0 = 1$ .

Pour toutes les autres composantes $p i = 0$ , nous avons : $p^i = 0 = {W^i}_\alpha p^\alpha$ , donc ${W^i}_0 = 0$ .

Considérons maintenant, conformément à la méthode générale sur les groupe de Lie, une transformation du petit groupe ${W^\alpha}_\beta$ arbitrairement proche de l'identité, de sorte que l'on puisse écrire, au premier ordre :

${W^\alpha}_\beta = {\delta^\alpha}_\beta + {\omega^\alpha}_\beta$

où ${\omega^\alpha}_\beta$ est une transformation infinitésimale. Puisque ${W^\alpha}_\beta$ est une transformation de Lorentz, elle doit vérifier :

$\eta_{\nu \mu} = {W^\alpha}_\nu {W^\beta}_\mu \eta_{\alpha \beta}$

Ceci donne, en remplaçant ${W^\alpha}_\nu$ et ${W^\beta}_\mu$ par leurs développements correspondants :

$\eta_{\nu \mu} = ({\delta^\alpha}_\nu + {\omega^\alpha}_\nu) ({\delta^\beta}_\mu + {\omega^\beta}_\mu) \eta_{\alpha \beta} = ({\delta^\alpha}_\nu {\delta^\beta}_\mu + {\delta^\alpha}_\nu {\omega^\beta}_\mu + {\delta^\beta}_\mu {\omega^\alpha}_\nu + ...) \eta_{\alpha \beta}$

$= {\delta^\alpha}_\nu {\delta^\beta}_\mu \eta_{\alpha \beta} + {\delta^\alpha}_\nu {\omega^\beta}_\mu \eta_{\alpha \beta} + {\delta^\beta}_\mu {\omega^\alpha}_\nu \eta_{\alpha \beta} = \eta_{\nu \mu} + {\delta^\alpha}_\nu \omega_{\alpha \mu} + {\delta^\beta}_\mu \omega_{\beta \nu} = \eta_{\nu \mu} + \omega_{\nu \mu} + \omega_{\mu \nu}$

D'où : $ω νμ + ω μν = 0$ .

La matrice 4x4 $ω νμ$ est donc antisymétrique, et possède ainsi 6 composantes indépendantes. Avec la condition de nullité des trois composantes ${W^i}_0 = 0$ , on se retrouve avec 3 composantes indépendantes seulement.

Les matrices infinitésimales $(ω νμ) i$ sont donc engendrées par trois matrices élémentaires de type $\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & \epsilon_{ijk}\end{array}\right)$ . On reconnaît là les trois générateurs du groupe des rotations de R³, $S O (3)$ .

Le petit groupe est donc ici le groupe $S O (3)$ , un résultat intuitif attendu.

[modifier] Autres cas

La quadri-impulsion ne peut prendre que deux autres valeurs physiques :

Dans le cas d'une particule de masse nulle au repos $p α = 0$ , le petit groupe est évidemment le groupe de Lorentz homogène $S O (3,1)$ ;
Dans le cas d'une particule de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière $\frac{dx}{dt} = 1, p^\alpha = {}^t (1, 1, 0, 0)$ , le petit groupe est le groupe $I S O (2)$ des rotations et translations du plan euclidien.