Pentatope
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| Pentatope (5-cellules) | |
|---|---|
| Type | Polytope régulier |
| Cellules | 5 (3.3.3)  |
| Faces | 10 {3} |
| Arêtes | 10 |
| Sommets | 5 |
| Figure de sommet | (3.3.3) |
| Symbole de Schläfli | {3,3,3} |
| Diagramme de Coxeter-Dynkin |    |
| Groupe de symétrie | A4, [3,3,3] |
| Dual | Auto-dual |
| Propriétés | convexe |
En géométrie euclidienne de dimension quatre, le pentatope, ou 5-cellules, aussi appelé un pentachore ou 4-simplexe, est le polytope régulier convexe le plus simple. C'est la généralisation d'un triangle du plan ou d'un tétraèdre de l'espace.
Sommaire |
[modifier] Géométrie
Le pentatope est constitué de cinq cellules, toutes des tétraèdres. C'est un polytope auto-dual. Sa figure de sommet est un tétraèdre. Son intersection maximale avec l'espace tri-dimensionnel est le prisme triangulaire.
Le symbole de Schläfli du pentatope est {3,3,3}.
Le pentatope régulier est la base d'une famille de 9 polytopes uniformes incluant :
- Le 5-cellules rectifié, le 5-cellules tronqué, 5-cellules bitronqué, 5-cellules biseauté, 5-cellules biseauté-tronqué, 5-cellules augmenté, 5-cellules augmenté-tronqué, 5-cellules omnitronqué.
[modifier] Construction
Le pentatope peut être construit à partir d'un tétraèdre en ajoutant un 5e sommet tel qu'il soit équidistant avec tous les autres sommets du tétraèdre (essentiellement, le pentatope est une pyramide quadri-dimensionnelle avec une base tétraèdrique)
[modifier] Projections
Une des projections possibles du pentatope en deux dimensions est le pentagramme inscrit dans un pentagone.
Les deux projections parallèles sommet en premier et cellule en premier du pentatope en trois dimensions ont une enveloppe de projection tétraèdrique. Le sommet le plus étroit ou le plus éloigné du pentatope est projeté vers le centre du tétraèdre. La cellule la plus éloignée/la plus étroite est projetée sur l'enveloppe tétraèdrique elle-même, tandis que les quatre autres cellules sont projetées sur les quatre régions tétraèdriques aplaties entourant le centre.
Les projection arête en premier et face en premier du pentatope dans trois dimensions ont une enveloppe en forme de diamant triangulaire. Deux des cellules sont projetées sur les moitiés supérieures et inférieures du diamant, tandis que les trois restantes sont projetées vers les trois volumes tétraèdrique non-réguliers arrangés autour de l'axe central du diamant à 120 degrés l'un de l'autre.
[modifier] Noms alternatifs
- 5-cellules
- 4-simplexe
- Pentachore
- Pentaèdroïde (Henry Parker Manning)
- Pen (Jonathan Bowers : pour pentachore)
[modifier] Références
- H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
[modifier] Liens externes
- (1) Les polychores uniformes convexes basés sur le pentachore, George Olshevsky
- Diagrammes des projections d'un 5-cellules
| 4-polytopes réguliers convexes | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Pentachore | Tesseract | 16-cellules | 24-cellules | 120-cellules | 600-cellules |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
