Discuter:Paradoxe des nombres intéressants

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[modifier] Catégorie:Fausse démonstration mathématique

J'ai supprimer la catégorie fausse démonstration mathématique vu qu'en réalité elle en est une vrai. J'en veux pour preuve que la méthode est impeccable et que la discussion sur la validité du paradoxe repose sur la « définition mathématique d'un nombre intéressant ».

Ainsi en partant par exemple du postulat (axiome) qu'un nombre est intéressant si et seulement s'il possède une propriété exclusive dans un certains ensemble, alors la suite du raisonnement est purement mathématiques et parfaitement exact.

Partir d'un ensemble d'axiomes, aboutir à une propriété via un raisonnement rigoureu, voilà ce qui fait une démonstration mathématique. BenduKiwi [ | φ] - 21 juillet 2006 à 03:04 (CEST)

PS : Désolé si j'emphatise un peu trop, la beauté de cette démonstration et l'heure y sont sans doute pour quelque chose.

Je conteste le passage aux nombres réels. Il faudrait d'abord définir les suites intéressantes. Cham 21 juillet 2006 à 09:24 (CEST)

Une suite est intéressante si et seulement si l'ensemble de ses termes sont des nombres intéressants. Néanmoins cette définition de suite intéressante n'est pas utile pour le passage aux réels vu que je défini un nombre réel intéressant comme limite d'une suite de Cauchy de nombres rationnels intéressants (ce qui revient à dire avec la définition supra que c'est une suite intéressante de Cauchy de rationnels mais inutile de compliquer). Je vais revoir ce passage pour qu'il ne pose plus de problème. BenduKiwi [ | φ] - 21 juillet 2006 à 22:56 (CEST)

C'est complètement idiot: la démonstration est fausse pour toute personne qui considère qu'un nombre est intéressant ssi il représente une date ayant une signification personnelle ou culturelle pour lui, et c'est une définition aussi bonne que toutes celles qui valideraient cette démonstration! Ensuite, faudrait l'abrèger: ici elle tient en une ligne. http://trucsmaths.free.fr/blagues_math.htm#theo
L'extension aux négatifs c'était déjà du travail original. Mais alors aux hypercomplexes...
Ainsi en partant par exemple du postulat (axiome) qu'un nombre est intéressant si et seulement s'il possède une propriété exclusive dans un certains ensemble, alors la suite du raisonnement est purement mathématiques et parfaitement exact.
Oui, tout nombre a est intéressant parce que c'est le seul nombre égal à a. Donc tout nombre est intéressant. Mais il est aussi légitime poser l'axiome "aucun nombre n'est intéressant". Je veux bien admettre l'axiome du choix parce qu'il fait avancer les choses, mais là c'est vraiment religieux: on ajoute à l'étude des nombres une définition visant à prouver que l'étude des nombres est intéressante. Bourbaki 21 septembre 2006 à 19:56 (CEST)
Si tu poses qu'aucun nombre n'est intéressant, alors la démonstration ne tiens plus debout et je ne peux que te conforter dans ton idée que tout nombre est inintéressant. Du reste il y a déjà de multiples remarques sur le flou autour de la notion de nombre intéressant, que veux-tu de plus ? En ce qui concerne la longueur de la démo, elle n'est pas très longue non plus, elle est juste plus détaillé que celle du lien. BenduKiwi [ | φ] - 22 septembre 2006 à 14:38 (CEST)
Alors au moins on supprime toutes les extensions hors de N: c'est du travail original, personne avant toi n'avait envisagé l'extension à Q, encore moins admis que le quotient de deux nombres intéressants est interessant.
Et il faut préciser que l'étape essentielle de la démonstration ("mais c'est un nombre intéressant" n'est vraie que pour certaines personnes.
Vu ce caractère psychologique, la catégorie pseudo-démonstration est selon moi légitime. Si tu dis que non, on devrait demander à d'autres matheux de venir débattre. Bourbaki 22 septembre 2006 à 23:48 (CEST)
Les extensions sont simplement évoquée, et lorsque l'on défini une notion pour un ensemble de nombre, on essaye toujours de l'étendre aux ensembles plus grand. Ce n'est pas du travail original, juste une ouverture.
L'étape charnière de la démonstration ne souffre d'aucun vice, les seules personnes n'admettant pas qu'un nombre étant le plus petit d'un ensemble donné soit une propriété intéressante étant en fait celles qui ne considèrent aucune propriété comme intéressante (toutes les propriétés arithmétiques se basent sur des considérations de plus petit élément), en venir à une précison de ce type nous amène à des détails qui vont à l'encontre de la concision que tu souhaites. Enfin il n'y a pas de caractère psychologique a faire intervenir, le débat portant sur les axiomes, et donc la démonstration n'a pas a être affublé du préfixe pseudo (cf l'article Mathématiques récréatives : « Une pseudo-démonstration est un raisonnement fallacieux (qui fait croire à un raisonnement logique, mais qui comporte une erreur (discrète souvent) qui fait que le raisonnement est faux) »). Tu peux inviter d'autres matheux dans le débat, je pense qu'ils seront d'accord avec moi sur le fait que la démonstration ne souffre d'aucun vice interne. On peut essayer d'inclure le fait que la négation de la qualité « intéressante » à toute propriété ne conduit a aucun paradoxe si vraiment tu le souhaites. BenduKiwi [ | φ] - 23 septembre 2006 à 17:32 (CEST)
Tu es la seule personne à ma connaissance à trouver le quotient de deux nombres intéressants forcément intéressant. Les extensions devraient aller dans la partie commentaire alors.
Sinon, voici d'autres définitions possibles pour un nombre intéressant:
  • un nombre dont l'étude des propriétés peut permettre d'acquérir des connaissances autres que sur le nombre lui-même.
  • un nombre correspondant à un fait ayant une signification personnelle ou culturelle
  • aucun
"les seules personnes n'admettant pas qu'un nombre étant le plus petit d'un ensemble donné soit une propriété intéressante étant en fait celles qui ne considèrent aucune propriété comme intéressante": tout réel a est le plus petit élément de l'intervalle [a infini[. Là encore, autant dire directement que tu considères tout nombre comme intéressant.
D'ailleurs si la généralisation aux Rev de dimension finie est triviale, je me demande si tu arriverais aussi facilement à généraliser aux ev de dimension infinie. Oh oui, puisque tout vecteur est un élément d'un ev de dimension 1.
Je vais quand même aller demander aux professeurs si on prend pas cette blague trop au sérieux. Bourbaki 24 septembre 2006 à 00:16 (CEST)
J'attendais la réponse de Cham avant de me prononcer ici à nouveau. Le passage « Ben semble la prendre comme une véritable preuve de l'intérêt des maths » m'a fait sourire. Les maths n'ont nullement besoin de telles preuves pour en montrer l'intérêt (il suffit de regarder l'usage qu'on en fait dans tous les domaines de la vie quotidienne) et ce n'est pas le paradoxe des nombres intéressants qui vont le prouver, il semblerai qu'il y ai eu méprise sur mon intérêt quant à cet article.
Ce que dit Cham est simplement que la notion de nombre intéressant échappe à toute axiomatisation, ce dont nous avons déjà débattu et ce sur quoi nous sommes d'accord. L'incompatibilité avec les maths est évidente et les multiples mentions de l'article suffisent pour que le lecteur de passage le comprenne bien. Ainsi là n'est pas le propos.
Pour en revenir a ta dernière intervention sur cette page, les extensions sont simplement évoqués, et mon exemple d'extension n'en reste qu'un exemple, non pas une vérité absolue. Je vais l'indiquer clairement comme tel, puisqu'il semble te perturber.
Le but n'est nullement de donner une définition des nombres intéressants, ma phrase « les seules personnes n'admettant pas qu'un nombre étant le plus petit d'un ensemble donné soit une propriété intéressante étant en fait celles qui ne considèrent aucune propriété comme intéressante » repose simplement sur le fait que toutes propriétés arithmétiques se basent sur des considérations de plus petit élément d'un ensemble, et non en un argument fallacieux qui ne fait pas avancer le débat (je considère effectivement tout nombre comme potentiellement intéressant mais cela n'entre pas en ligne de compte).
Des généralisations aux ev de dimensions infinies sont bien entendu possibles, en partant par exemple du principe qu'un polynôme est intéressant si ces coefficients le sont. Bref et pour éviter que ce que tu crois sur mon compte ne vienne entâcher à nouveau cette discussion, je considère cet article sérieusement comme tout article, bien que ce paradoxe prête a rire. BenduKiwi [ | φ] - 30 septembre 2006 à 16:42 (CEST)
Ce n'est pas vrai que celui qui refuse cette démonstration considère que tous les nombres sont inintéressants; j'ai donné un exemple donnant un nombre fini mais déjà considèrable (dans le sens trop nombreux pour une mémoire humaine) de nombres intéressants: les nombres se rattachant à des dates historiques importantes.
En fait il est évident que tout nombre, ou même tout objet mathématique, devient intéressant à partir du moment où on a décodé de l'étudier en détail. Puisque si on s'intéresse à un nombre, c'est qu'il est intéressant. C'est vrai même pour Zeta(Pi^e).Ne serait-ce que parce que la démonstration de sa rationalité ou de son irrationalité doit être assez costaude.
Ce qui me gène surtout c'est que prétendre cette démonstration comme vraie, c'est un peu imposer une vision des nombres issue d'une formation mathématique particulière. Peut-être savons-nous mieux qu'un littéraire ce qu'est un nombre réel, mais prétendre que nous pouvons prouver que les nombres sont intéressants alors que beaucoup s'en foutent, ça me semble condescendant à leur égard. Bourbaki 1 octobre 2006 à 14:53 (CEST)
Je n'ai jamais dit que celui qui refuse cette démonstration considère que tous les nombres sont inintéressants, c'est le refus de la propriété « un nombre est le plus petit d'un ensemble donné » comme intéressante qui conduit à la négation de tout nombre intéressant (cf l'arithmétique).
Une démonstration n'est qu'un chemin d'un point A vers un point B, c'est le point A qui est subjectif et non le chemin. Si tu fais abstraction de tes ressentiments sur les présupposés de la démonstration, peux-tu dire qu'elle est fausse ? La démonstration en elle-même est vraie.
Quant à la condescendance envers les littéraires, il me plait à croire que je fais partie des deux mondes donc je ne permettrais pas un tel geste à leur égard :D (plus sérieusement, d'une part refuser qu'un nombre soit intéressant car on s'en fout c'est faire preuve d'étroitesse d'esprit, d'autre part cet article n'a pas la fonction de preuve, il est bien épinglé comme une boutade, donc où se trouve la prétention de preuve qui pourrait irriter certains gens ?). BenduKiwi [ | φ] - 1 octobre 2006 à 15:45 (CEST)
Ben, ce n'est pas binaire: ta dernière phrase affirme que si on refuse ta définition, tous les nombres sont inintéressants. Or on peut choisir une définition donnant un nombre fini non nul, ou infini dénombrable, de nombres intéressants. Bourbaki 9 octobre 2006 à 01:10 (CEST)
Je n'ai jamais prétendu le contraire, simplement refuser la dernière définition revient à dire que quelquesoit les propriétés d'un nombre celui ci sera inintéressant, et donc que tous le sont. Les deux dernières phrases servent juste à dire que le paradoxe n'est pas absolu, et dépend de ce qu'est prêt à admettre une personne par rapport à l'intérêt des nombres. Après on peut adopter une autre définition, mais comme je te l'ai déjà dit je préfère éluder la question de la définition de la notion de nombre intéressant puisqu'intrinsèquement subjective. Si l'on commence a mettre quelques exemples de définition possible d'un nombre intéressant on ne va plus s'en sortir (car alors comment choisir celles que l'on met au détriment d'autres ?). BenduKiwi [ | φ] - 10 octobre 2006 à 20:47 (CEST)
Je vais quand même changer la dernière phrase: la négation de "tout nombre ayant une propriété est intéressant" est "toute propriété n'est pas suffisante pour qu'un nombre soit intéressant", pas "quelles que soient ses propriétés, aucun nombre n'est intéressant". Bourbaki 11 octobre 2006 à 00:08 (CEST)

[modifier] Travail inédit

Certes, ce « paradoxe », pour les entiers naturels, fait partie du folklore des mathématiciens. Mais sa généralisation aux ensembles de nombres plus grands n'est-elle pas une invention de l'auteur ? Dans la mesure où il ne s'agit pas d'un vrai résultat mathématique (on s'amuse à faire des maths sur des notions mal définies), il me semble qu'en l'absence de sources externes à Wikipédia attestant de la notoriété de ces extensions du paradoxe, toute cette partie consacrée aux autres ensembles de nombres que les entiers naturels devrait être supprimée. On peut certainement rescenser les blagues de matheux classiques sur Wikipédia, mais pas en créer. --DSCH (m'écrire) 22 février 2007 à 10:51 (CET)

D'accord avec cette conclusion, d'autant plus que le raisonnement est quand même essentiellement une récurrence, donc c'est assez trompeur de l'étendre ainsi. Et puis il faut éviter d'avoir l'air de prendre trop au sérieux ce genre de chose. Je ne trouve pas non plus les commentaires très justes (en quoi ça illustre la possibilité de faire des maths sur des notions floues ?) . Autres critiques : la "subtilité" : ce n'en est pas une, c'est le fond du problème qui est que la notion n'est pas bien définie. Cette histoire de partie standard : je suppose que ça signifie "définie dans un langage bien spécifié", ça n'est pas clair non plus. Je supposerais volontiers qu'à l'origine c'est une variation amusante sur le paradoxe de Berry. Si ça intéresse quelqu'un de chercher d'où ça vient, un bout de piste : on trouve le raisonnement dans Queneau, Bords, Hermann 1963 p 34. Queneau y cite Martin Gardner Mathematical Puzzles and diversions New York 1959, p148. Proz 27 février 2007 à 16:29 (CET) J'ai vu également que la version anglaise allait dans ce sens, j'ai donc repris en écartant les généralisations, et la note sur les parties standards (peut-être aussi une allusion à un modèle non standard de l'arithmétique, auquel cas c'est hors de propos), les interprétations douteuses. J'ai mis Gardner dans les sources (cité dans la version anglaise), bien que n'ayant pas pas pu consulter l'ouvrage. Proz 3 mars 2007 à 02:30 (CET)