Nombre tétraédrique
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Un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide avec une base et trois côtés, c'est-à-dire, un tétraèdre. Pour tout entier naturel non nul n, le nombre tétraédrique de rang n, est la somme des n premiers nombres triangulaires .
On démontre que le nombre tétraédrique de rang n est
, soit encore
où est un coefficient binomial
Les nombres tétraédriques se trouvent donc dans la quatrième diagonale de gauche à droite ou de droite à gauche dans le triangle de Pascal.
Les premiers nombres tétraédriques sont
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969.
Les nombres tétraédriques peuvent être représentés dans l'espace ordinaire de dimension trois. Par exemple, le nombre tétraédrique 35 peut être représenté par un assemblage de 35 boules de billard. Le « triangle » (armature triangulaire standard du jeu de billard) contient 15 boules. Dix boules supplémentaires sont alors empilées au-dessus de celles-ci, ensuite six de plus forment un autre étage, puis encore trois boules et enfin une complètent le tétraèdre.
La parité des nombres tétraédriques suit le modèle impair-pair-pair-pair.
En 1878, A.j. Meyl a démontré qu'il y a seulement trois nombres tétraédriques qui sont également carrés, à savoir, 1, 4 et 19600. Jusqu'ici, le seul nombre tétraédrique connu qui soit aussi un nombre pyramidal carré est 1.
