Nombre d'argent

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'appellation nombre d'argent a été proposée pour diverses généralisations du nombre d'or ; elles sont encore en concurrence actuellement.

Sommaire

1 Première proposition
2 Deuxième proposition
3 Troisième proposition
4 Références
5 Voir aussi

[modifier] Première proposition

Le nombre d'or étant la solution positive de l'équation $x 2 = x + 1$ , équation caractéristique de la récurrence de Fibonacci : $u n = u n - 1 + u n - 2$ , il a été proposé^[1] que le nombre d'argent soit la solution positive de l'équation $x 3 = x 2 + x + 1$ , équation caractéristique de la récurrence : $u n = u n - 1 + u n - 2 + u n - 3$ .

Mais cette récurrence ayant été désignée, par un délicieux jeu de mot, récurrence de Tribonacci, la constante associée s'appelle désormais constante de Tribonacci, qui est égale à environ $1,839286755\,$ .

Dans la même veine on trouve aussi la constante, unique solution positive de l'équation $x 3 = x + 1$ , équation caractéristique de la récurrence de Padovan : $u n = u n - 2 + u n - 3$ , mais elle a été rétrogradée au rang de nombre plastique, ou constante de Padovan.

[modifier] Deuxième proposition

Un rectangle d'or étant un rectangle qui est semblable au rectangle obtenu en ôtant le plus grand carré inclus, propriété qui équivaut à ce que le rapport longueur/largeur soit égal au nombre d'or, il a été proposé qu'un rectangle d'argent soit un rectangle semblable au rectangle obtenu en ôtant deux plus grands carrés inclus.

Le rapport Longueur/largeur d'un rectangle d'argent est la solution positive de l'équation $x - 2 = 1 / x$ soit $x 2 = 2 x + 1$ ; il est naturel alors de désigner par nombre d'argent cette solution, égale à $1+\sqrt 2$ .

Si le nombre d'or a pour développement en fraction continue [1,1,1,....], ce nombre a pour développement [2,2,2,....].

Pour éviter un conflit avec la troisième proposition, ce nombre est étudié dans Wikipedia sous le nom de proportion d'argent, traduction littérale de silver ratio.

La récurrence associée est $u n = 2 u n - 1 + u n - 2$ .

[modifier] Troisième proposition

L'inverse du nombre d'or étant égal à $2 \sin {18^\circ } = 2 \sin{\frac {\pi}{10}}$ , il a été proposé que le nombre d'argent noté $u$ soit égal à $2 \sin {10^\circ } = 2 \sin{\frac {\pi}{18}} \approx 0,3472963554$ .

Il est la racine positive de l'équation $x 3 = 3 x - 1$ , associée à la récurrence $u n = 3 u n - 2 - u n - 3$ .

A l'aide du nombre d'or et du nombre d'argent , il est assez facile d'exprimer la table trigonométrique des angles de 1° à 45°, de degré en degré.

En effet ceux-ci sont des multiples de 3 (catégorie I) et/ou 5 (catégorie II) , des multiples de 2(catégorie III), et des premiers (catégorie IV). Les premiers (catégorie IV) sont les complémentaires à 45° de la catégorie III. La catégorie III se calcule aisément à partir des catégories I et II , qui elles-même découlent de $u$ et de $φ$ .

La question reste posée de savoir si on peut faire mieux avec d'autres nombres soit de la classe x² = q - p x, soit de la classe x³ = q - p x.

La courbe de Lissajous $x=\sin{(u)} ~$ et $y=\sin{(3u)} ~$ (cubique) est très liée à ce problème, de même que la quintique $x=\sin{(u)} ~$ et $y=\sin{(5u)} ~$ .