Méthode des moments (analyse numérique)

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En analyse numérique, la méthode des moments est une méthode de résolution numérique de problèmes linéaires avec conditions aux limites. La méthode consiste à ramener le problème à un problème matriciel de la forme $A x = B$ , où $A$ est une matrice, $x$ un vecteur inconnu dont on recherche les solutions et $B$ un vecteur connu. Lorsque c'est possible, l'inversion de la matrice $A$ permet de déterminer les solutions recherchées.

[modifier] Description de la méthode

La méthode des moments permet de résoudre les équations inhomogènes du type :

L (f) = g

où $L$ est un opérateur linéaire, $f$ et $g$ deux fonctions. Généralement, on nomme la fonction $g$ le terme excitation ou source, et $f$ le terme de champ ou la réponse, l'inconnu que l'on cherche à déterminer.

La fonction $f$ peut être décomposée sur une base de fonctions $f n$ :

f =	∑	α_nf_n
	n

où les coefficients $α n$ sont constant. L'opérateur $L$ étant linéaire, on a :

∑	α_nL(f_n) = g
n

On définit également un produit scalaire dans l'espace des fonctions (généralement un espace de Hilbert) ainsi que des fonctions tests $w m$ dans le domaine de l'opérateur $L$ . En prenant le produit scalaire de l'équation précédente avec chaque $w m$ , on obtient :

∑	α_n < w_m,L(f_n) > = < w_n,g >
n

Cette série d'équation peut se réécrire sous forme matricielle :

[l m n][α n] = [g m]

où

$[l_{mn}]=\left( \begin{matrix} <w_1, L f_1> & <w_1, L f_2> & \cdots \\ <w_2, L f_1> & <w_2, L f_2 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix}\right)$

$[\alpha_n]=\left(\begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \end{matrix} \right)$ , $[g_n]=\left(\begin{matrix} <w_1, g> \\ <w_2, g> \\ \vdots \end{matrix} \right)$

Si la matrice $[l m n]$ est inversible, alors les coefficients $[α n]$ peuvent être calculés par :

[α n] = [l m n] - 1 [g n]

[modifier] Cas particulier : méthode de Galerkin

Lorsque les fonctions tests $w n$ sont choisies telles que $w n = f n$ , cette méthode est connue sous le nom de méthode de Galerkin, du nom du mathématicien Russe Boris Grigoryevich Galerkin.

[modifier] Références

R.Harrington, Origin and Development of the Method of Moments for Fields Computation, IEEE Antennas and Propagation Magazine, Juin 1990.
R.Harrington, Matrix Methods for Field Problems, Proc. of the IEEE, vol. 55, No. 2, Février 1967.

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