Méandre (mathématiques)
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En mathématiques, un méandre est un configuration dans le plan ℝ² formée par deux courbes planes simples se coupant transversalement. Intuitivement, un méandre peut être vu comme une route coupant une rivière à travers un certain nombre de ponts. On dit méandre ouvert dans le cas ou les deux courbes sont isotopes a des droites du plan et méandre fermé dans le cas ou une courbe est fermée et l'autre isotope a une droite.
Dans le cas ouvert, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie une des deux courbes sur une ligne droite L.
Dans le cas ouvert, le nombre de points de croisements est un nombre entier positif n.
Dans le cas fermé, on peut toujours trouver une isotopie qui envoie la courbe non compacte sur une ligne droite L.
Dans le cas fermé, le nombre de points de croisements est un nombre entier positif pair 2n.
Deux méandres sont dits équivalents s'ils sont isotopes dans le plan ℝ².
Les méandres sont des objets difficiles à compter. On ne connaît pas de formule pour le nombre Mn de méandres ayant n intersections.
On peut colorier en noir et blanc les régions du plan déterminées par un méandre en alternant.
Sommaire |
[modifier] Nombres méandriques
Le nombre de méandres distincts d'ordre n est le nombre méandrique Mn. Les quinze premiers nombres méandriques sont donnés ci-dessous la séquence A005315 de l'OEIS.
- M1 = 1
- M2 = 2
- M3 = 8
- M4 = 42
- M5 = 262
- M6 = 1 828
- M7 = 13 820
- M8 = 110 954
- M9 = 933 458
- M10 = 8 152 860
- M11 = 73 424 650
- M12 = 678 390 116
- M13 = 6 405 031 050
- M14 = 61 606 881 612
- M15 = 602 188 541 928
[modifier] Méandre ouvert
Étant donnée une droite fixée orientée L dans le plan euclidien , un méandre ouvert d'ordre n est une courbe orientée qui ne se coupe pas dans qui coupe transversalement la droite à n points pour un certain entier positif n. Deux méandres ouverts sont dits équivalents s'ils sont homéomorphes dans le plan.
[modifier] Exemples
Le méandre ouvert d'ordre 1 coupe la droite une fois :
Le méandre ouvert d'ordre 2 coupe la droite deux fois :
[modifier] Nombres méandriques ouverts
Le nombre de méandres ouverts distincts d'ordre n est le nombre méandrique ouvert mn. Les quinze premiers nombres méandriques ouverts sont donnés ci-dessous la séquence A005316 de l'OEIS.
- m1 = 1
- m2 = 1
- m3 = 2
- m4 = 3
- m5 = 8
- m6 = 14
- m7 = 42
- m8 = 81
- m9 = 262
- m10 = 538
- m11 = 1 828
- m12 = 3 926
- m13 = 13 820
- m14 = 30 694
- m15 = 110 954
[modifier] Semi-méandre
Étant donnée une demi-droite R dans le plan euclidien , un semi-méandre d'ordre n est une courbe qui ne se coupe pas dans qui coupe transversalement la demi-droite à n points pour un certain entier positif n. Deux semi-méandres sont dits être équivalents s'ils sont homéomorphes dans le plan.
[modifier] Exemples
Le semi-méandre d'ordre 1 coupe la demi-droite une fois :
Le semi-méandre d'ordre 2 coupe la demi-droite deux fois :
[modifier] Nombres semi-méandriques
Le nombre de semi-méandres distincts d'ordre n est le nombre semi-méandrique Mn (généralement noté avec une ligne au-dessus à la place d'une ligne en-dessous). Les quinze premiers nombres semi-méandrique sont donnés ci-dessous la séquence A000682 de l'OEIS.
- M1 = 1
- M2 = 1
- M3 = 2
- M4 = 4
- M5 = 10
- M6 = 24
- M7 = 66
- M8 = 174
- M9 = 504
- M10 = 1 406
- M11 = 4 210
- M12 = 12 198
- M13 = 37 378
- M14 = 111 278
- M15 = 346 846
[modifier] Propriétés des nombres méandriques
Il existe une fonction injective des nombres méandriques vers les nombres méandriques ouverts :
Chaque nombre méandrique peut être borné par des nombres semi-méandriques :
- Mn ≤ Mn ≤ M2n
Pour n > 1, les nombres méandriques sont pairs :
- (mod 2)