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[modifier] Devoir Libre de Mathématique n°11

[modifier] Exercice 1

Cas n°1

a) Voir Annexe 1
b) \frac{b-a}{c-a} = \frac{1+i-2i}{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i-2i} =\frac{1(1-i)}{\frac{1}{2}(1-i)}=2
c) \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}
d) \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires donc les points A,B,C sont alignés


Cas n°2

a) \frac{b-a}{c-a} =\frac{1+i-(\frac{17}{5}+\frac{1}{5}i)}{3-i-(\frac{17}{5}+\frac{1}{5}i)} =\frac{-\frac{12}{5}+\frac{4}{5}i}{-\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i} =\frac{-6+2i}{-1-3i}\times\frac{-1+3i}{-1+3i} =\frac{6+18i+2-6}{1-3i+3i+9} =\frac{20}{10}i = 2i C'est un imaginaire pur
b) \overrightarrow{AB}=2i\overrightarrow{AC} et \arg2i=\frac{\pi}{2} Le triangle ABC est rectangle


Cas n°3

a) \frac{b-a}{c-a} =\frac{1+i-i}{\frac{1}{2}+i(1-\frac{\sqrt{3}}{2})-i} =\frac{1}{\frac{1}{2}-i(1-\frac{\sqrt{3}}{2})}\times\frac{\frac{1}{2}+i(1-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}+i(1-\frac{\sqrt{3}}{2})}
\left|\frac{b-a}{c-a}\right| =\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1
Soit θ un argument de \frac{b-a}{c-a}
\cos\theta=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}
\sin\theta=\frac{\frac{i\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{i\sqrt{3}}{2}
\arg\left(\frac{b-a}{c-a}\right)=\frac{\pi}{3} +2k\pi
b)\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\pi}{3}
\|\overrightarrow{AB}\| = \|\overrightarrow{AC}\|
c) ABC est un triangle isocèle avec un angle de 60^\circ donc ABC est un triangle équilatéral
d) Voir Annexe 2

[modifier] Exercice 2

a) z2 − 6z + 12 = 0
\Delta=(-6)^2-4\times1\times12=36-48=-12
u=\frac{6+\sqrt{12}i}{2}=\frac{6+2\sqrt{3}i}{2}=3+\sqrt{3}i
\bar u=3-\sqrt{3}i
b) |u|=|\bar u|=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}
Soit Θ un argument de u
\cos\Theta=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
\sin\Theta=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}
\arg u=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\arg\bar u=-\arg u =-\frac{\pi}{6}-2k\pi
c) v=3+\sqrt{3}i-4=-1+\sqrt{3}i
|v|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2
Soit Θ un argument de v
\cos\Theta=\frac{-1}{2}
\sin\Theta=\frac{\sqrt{3}}{2}
\arg v=\frac{2\pi}{3}+2k\pi
v=2e^{\frac{2i\pi}{2}}
d)\left|\frac{u}{v}\right|=\frac{|u|}{|v|}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
\arg\frac{u}{v}=\arg u-\arg v=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}=\frac{-\pi}{2}
e) Le point O a pour affixe o = 0
(\overrightarrow{OV};\overrightarrow{OU})=\arg\frac{u-o}{v-o}=\arg{u}{v}=\frac{-\pi}{2}
OUV est un triangle rectangle en O
\frac{o-u}{a-u}=\frac{0-3+\sqrt{3}i}{4-3-\sqrt{3}i}=\frac{1+\sqrt{3}i}{-3+\sqrt{3}i}\times\frac{-3-\sqrt{3}i}{-3-\sqrt{3}i} =\frac{-3-\sqrt{3}i-3\sqrt{3i}+3}{9+3\sqrt{3}i-3\sqrt{3}i+3} =\frac{-4\sqrt{3}i}{12}=\frac{-\sqrt{3}}{3}i IL s'agit d'un imaginaire pur négatif
(\overrightarrow{UA};\overrightarrow{UO})=\arg\frac{o-u}{a-u}=\frac{-\pi}{2}
OUA est un triangle rectangle en U
f) Voir Annexe n°3