Limite de Betz

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Sommaire

[modifier] Historique et Énoncé

Ce résultat fut découvert par l'allemand Albert Betz en 1919 et fut publié dans son livre Wind Energie en 1926. Aussi surprenant que cela puisse paraître, cette loi s'applique à tout type d'éolienne que l'on désignera d'ailleurs par le nom générique de capteur éolien.

En effet, Betz affirme que la puissance théorique maximale récupérable par un capteur éolien est égale à 16/27 de la puissance incidente du vent qui "traverse" l'éolienne. Il affirme de plus que cette limite sera atteinte lorsque le capteur éolien freinera le vent à 1/3 de sa vitesse en amont de l'éolienne. Bien entendu, la puissance incidente du vent est cinétique et dépend de la surface que le capteur éolien "propose au vent", de la vitesse du vent et de la masse volumique de l'air. On peut regrouper ces résultats selon ces formules :

P_{extraite}^{max}=\frac{16}{27}.P_{incidente} avec P_{incidente} = P_{cinetique} = \frac{1}{2}.\rho.S.V^3 \, lorsque V_{aval} = \frac{1}{3} V_{amont}
ρ : masse volumique du fluide (1.23 kg/m³ pour l'air à 20°C)
S : surface du capteur éolien en m²
V : vitesse incidente (amont) du fluide en m/s

[modifier] Démonstration

Pour se lancer dans cette démonstration, il faut avoir une idée de ce que sont le théorème de Bernoulli, le théorème d'Euler... un minimum de connaissances de mécanique des fluides. Peux-tu la démontrer?

[modifier] Modélisation

- écoulement monodimensionnel par section, stationnaire d'un fluide parfait homogène
- on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen

[modifier] Notation

- Dm : débit massique d'air
- S : surface du capteur éolien
- ρ : masse volumique du fluide

Selon le modèle, le débit massique est constant Dm = ρSv = cste, mais v diminue car le capteur éolien capte l'énergie cinétique du vent, on en déduit que S augmente, d'où la figure ci-dessous représentant le tube de courant (bleu) dans lequel est plongé le capteur éolien.

Un bilan de quantité de mouvement permet alors d'exprimer l'effort F transmis au rotor : F = Dm(v1 − v2) (1)

Maintenant considérons le tube de courant au niveau du rotor de l’éolienne, l'écoulement est supposé parfait et stationnaire, on néglige le champ de pesanteur et le fluide incompressible, on peut alors utiliser le théorème de Bernoulli sur une même ligne de courant entre S1 et l’amont du rotor, et entre S2 et l’aval du rotor :


\frac {P}{\rho}+gz+\frac {v^2}{2}=cste <=> \frac {P_{0}}{\rho}+\frac {v_{1}^2}{2}=\frac {P_{-}}{\rho}+\frac {v_{-}^2}{2}
\frac {P_{0}}{\rho}+\frac {v_{2}^2}{2}=\frac {P_{+}}{\rho}+\frac {v_{+}^2}{2}


Donc, lorsque ε − > 0 on aura v + = v − = v, on en déduit alors : P^--P^+=\frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2) (2)

Et en faisant un bilan de quantité de mouvement sur ce second contour on obtient : − F + S(P + − P − ) = Dm(v + − v − ) = 0 (3)


On tire alors des relations (1) (2) et (3) : v=\frac{v_{1}+v_{2}}{2}

Maintenant en notant P la puissance extraite par le capteur éolien et P0 la puissance incidente du vent non perturbé :

P_{0}=\frac{1}{2} \rho S v_{1}^3

P=-\frac{dEc_{vent}}{dt}=\frac {1}{2} \rho S v (v_{1}^2-v_{2}^2)=\frac{\rho}{4} S (v_{1}^2-v_{2}^2)(v_{1}+v_{2})

On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne en fonction de x défini par :

r=\frac {P}{P_{0}}=\frac{1}{2}(1-x^2)(1+x) \,\,\,\,\,\,\,\, avec \,\,\,\,\,\,\,\, x=\frac {v_{2}}{v_{1}}

On remarque alors que l'on atteint un maximum pour x=1/3, alors r=16/27 d'où la limite de Betz :

P_{extraite}^{max} \,\, = \,\, \frac {16}{27} \, P_{incidente}