Ligne polygonale
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Une ligne polygonale, ou ligne brisée est une figure géométrique formée d'une suite de segments, chacun d'entre eux partageant une extrémité avec le suivant. C'est l'analogue non fermé d'un polygone. De plus on peut considérer une telle ligne dans un espace de dimension autre que deux.
[modifier] Définition
Soient A 1, A 2, A 3, ... A n, n points du plan affine euclidien usuel, ou d'un espace affine plus général.
On appelle alors ligne polygonale la figure notée « A 1A 2A 3...A n » et constituée par la suite des n-1 segments : [A 1A 2], [A 2A 3], ... [A n-1A n]. Les points A i sont les sommets successifs de la ligne polygonale.
[modifier] Longueur
Avec les notations précédentes, si l'espace est muni d'une norme, on peut définir la longueur de la ligne polygonale comme
Par application de l'inégalité triangulaire, cette longueur est plus grande que la distance A 1A n.
- dans un espace euclidien, l'inégalité triangulaire (qui n'est autre que l'inégalité de Minkowski) ne devient égalité que quand les points sont tous alignés, et même rangés dans l'ordre des indices sur une même droite. Dans ce cas parcourir la ligne polygonale revient à aller en ligne droite de A 1 à A n.
On résume cela en disant que « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » (parmi les lignes brisées).
- dans un espace vectoriel normé général, la ligne droite est bien un plus court chemin, mais a priori parmi plusieurs autres.
Le concept de longueur d'une ligne polygonale sert de fondement à la définition générale de la longueur d'un arc de courbe, et permet de prouver que la formule « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » est vraie pour une plus grande classe de « chemins ».
