Lemme de transport

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie de la mesure, le lemme de transport est utilisé pour montrer que certaines applications sont mesurables.

Si $A$ est un ensemble et $\mathcal{C}\subset\mathcal{P}\left( A\right)$ est un ensemble de parties de $A$ , on notera $\sigma\left(\mathcal{C}\right)$ la tribu sur $A$ engendrée par $\mathcal{C}$ .

[modifier] Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux ensembles, $f:\;X\to Y$ une application et $\mathcal{E}\subset\mathcal{P}\left(Y\right)$ un ensemble de parties de $Y$ , on a alors $f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)=\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right)$ .

[modifier] Démonstration

On montre l'égalité par double inclusion :

$\supset$

$\mathcal{E}\subset\sigma\left(\mathcal{E}\right)$ donc $f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\subset f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)$ et $\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right)\subset \sigma\left(f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)\right)$ mais $f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)$ est déjà une tribu car elle vérifie la définition d'une tribu donc $\sigma\left(f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)\right)=f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)$ .

$\subset$

On considère l'ensemble $\mathcal{S}=\{B\in\mathcal{P}(Y)\; ; \;f^{-1}(B)\in\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right)\}$ qui est une tribu sur $Y$ puisqu'il vérifie la définition d'une tribu. On a par définition de $\mathcal{S}$ $\mathcal{E}\subset\mathcal{S}$ et donc $\sigma\left(\mathcal{E}\right)\subset\sigma\left(\mathcal{S}\right)=\mathcal{S}$ et par suite $f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{E}\right)\right)\subset f^{-1}\left(\mathcal{S}\right)$ or $f^{-1}\left(\mathcal{S}\right)\subset\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{E}\right)\right)$ par définition de $\mathcal{S}$ .

[modifier] Exemple d'application

Une application classique du lemme de transport est de montrer qu'une application continue est borélienne.

En effet si $(X,\mathcal{O})$ et $(Y,\mathcal{U})$ sont des espaces topologiques, $f:(X,\sigma(\mathcal{O}))\to(Y,\sigma(\mathcal{U}))$ est borélienne si et seulement si $f^{-1}(\sigma(\mathcal{U}))\subset\sigma\left(\mathcal{O}\right)$ or d'après le lemme de transport $f^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{U}\right)\right)=\sigma\left(f^{-1}\left(\mathcal{U}\right)\right)$ . Si on suppose que $f$ est continue alors $f^{-1}\left(\mathcal{U}\right)\subset\mathcal{O}$ , et on a bien $\sigma(f^{-1}\left(\mathcal{U}\right))\subset\sigma(\mathcal{O})$ donc $f^{-1}(\sigma(\mathcal{U}))\subset\sigma\left(\mathcal{O}\right)$ .

[modifier] Cas général

Plus généralement le lemme de transport dit que si $(X,\mathcal{A})$ et $(Y,\mathcal{B})$ sont des espaces mesurables et si $\mathcal{C}\subset\mathcal{P}(Y)$ tel que $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}$ alors $f:(X,\mathcal{A})\to(Y,\mathcal{B})$ est mesurable si et seulement si $f^{-1}(\mathcal{C})\subset\mathcal{A}$ ce qui n'est pas anodin et peut simplifier considérablement la caractérisation des applications $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ -mesurables.