Lemme de Nakayama

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Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative, bien que d'aspect technique. Il doit son origine à T. Nakayama, G. Azumaya et Wolfgang Krull.

[modifier] Énoncé

Soient A un anneau commutatif, M un A-module de type fini et I un idéal de A tel que IM = M. Il existe un élément a de I tel que (1 + a)M = 0.

Le lemme de Nakayama est parfois énoncé dans le cas particulier où I est contenu dans le radical de Jacobson de A. Dans ce cas, 1 + a est inversible, donc M est le module nul.

Autre formulation assez générale, couvrant les deux énoncés précédents :

Soit I un idéal d'un anneau A commutatif, et deux A-modules N et M, où M est de type fini.

Si M = IM + N alors A = I + (N:M), où (N:M) est l'idéal conducteur de M dans N, c'est à dire (N:M) = \{a \in A \ |\ aM \subset N\}