Lemme de Hensel

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En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du vingtième siècle Kurt Hensel, peut être vu comme un analogue de la méthode de Newton dans les anneaux de valuation complète, c'est-à-dire qu'il permet de donner des approximations des racines des polynômes. L'exemple typique est celui de l'anneau des polynômes à coefficients dans \mathbb{Z}_p, l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier.

[modifier] Énoncés

  • Lemme d'Hensel version 1

S'il existe \alpha_0 \in \mathbb {Z} tel que :

(i) P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p,

(ii) P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p,

alors, il existe \alpha \in \mathbb {Z}_p tel que P(α) = 0 et \alpha \equiv \alpha_0 \pmod p.


  • Lemme d'Hensel version 2

S'il existe \alpha_0 \in \mathbb {Z}_p tel que, pour un certain entier N, on ait :

(i) P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N},

(ii) P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}},

(iii) P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}},

alors, il existe \alpha \in \mathbb {Z}_p tel que P(α) = 0 et \alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}.

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