Utilisateur:Lehalle/Décompressions mathématiques/L'aléatoire en mathématiques

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[modifier] L'aléatoire en mathématiques : lorsque le hasard est un facteur de performances

Version complète: novembre 2004

Les mathématiques sont souvent considérées comme le lieu du déterminisme le plus tyrannique. Les mêmes causes produisant toujours les mêmes effets, une erreur dans une copie nous en effet a tous coûté le même nombre de points...

Pourtant, le hasard a fait très tôt intrusion dans le formalisme mathématique. C'est en été 1664 que Blaise Pascal rédigea un traité sur les probabilités, à la demande de son ami le chevalier de Méré, très intéressé par les calculs d'assurance en matière maritime ; il poursuivit avec une étude du jeu de roulette, pour le duc de Roannez [PR].

Pendant assez longtemps les probabilités furent essentiellement un sujet d'étude pour les mathématiciens. Dans ce cadre, un possible aléa est modélisé à l'aide d'une ensemble d'événements (tous les possibles), qui peuvent ou non se produire conjointement. Par exemple, pour un jeu de pile ou face, les événements sont « pile » et « face », et ils ne peuvent être conjoints. On attribue à chacun de ces événements un « poids » (si le jeu de pile ou face n'est pas biaisé, les deux événements ont même poids). Cela ce fait par l'intermédiaire d'une fonction, qui fait correspondre à chaque événement e son poids (on dit aussi sa probabilité, ou sa mesure de probabilité) m(e). Pour que tout cela soit possible, il est nécessaire que la mesure de probabilité soit compatible avec les disjonctions ou conjonctions possibles. Toujours à pile ou face, il faut que la mesure de « pile ou bien face » soit égale à la mesure de pile plus la mesure de face. A force d'études, les mathématiciens se sont aperçu par exemple que seuls certains ensembles d'événements pouvaient être probabilisés. La question de savoir quel est l'ensemble ayant le moins de propriété particulière et pourtant probabilisable est très compliquée, elle nécessite notamment le recours au fameux axiome du choix.

Au delà de ces études intrinsèques, la théorie des probabilités donna des résultats intéressants, et d'autres plus anecdotiques, comme le fait que si un bus passe aléatoirement à un arrêt toutes les 10mn en moyenne, alors un passager arrivant lui aussi à un instant aléatoire attendra en moyenne 10mn (et pas 5mn, comme on pourrait s'y attendre). D'autre part des résultats mathématiques ont été eux aussi probabilisés, il y a ainsi des théorème qui énoncent qu'une propriété est « presque partout vraie » (au sens où l'ensemble sur lequel elle est fausse a une mesure de probabilité nulle).

Parmi les résultats qui font le plus sens dans notre vie quotidienne, beaucoup sont issus de l'étude de systèmes biologiques, comme les algorithmes génétiques, qui formalisent l'évolution de l'ADN au cours des générations. Les résultats dans ce domaine nous montre que c'est le hasard qui permet à ce genre de processus d'aboutir à une solution optimale.

En simplifiant, si vous constituez un jury de dix personnes qui sont toujours d'accord, il répétera toujours les mêmes erreurs. Si au contraire vous le constituez de dix personnes très différentes, le départ sera peut-être un peu cacophonique, mais peu à peu, ils apprendront à reconnaître les situations dans lesquelles tel ou tel membre est particulièrement performant, apprendra ainsi beaucoup plus rapidement de ses erreurs, et finalement aura plus souvent raison (c'est ce qu'on appelle un mélange d'experts [KAL]).

Un autre phénomène qui vante les mérites de l'aléa est celui des marches aléatoires. Il s'agit de savoir comment parcourir un paysage dont seul notre voisinage proche est visible (comme si on se promenait dans la campagne avec un faible torche), avec comme but de se rendre au sommet de la plus haute colline. Le théorème de Robin- Monro [RM] montre qu'une très bonne stratégie est de prendre la plus grande pente (bien entendu), sans oublier de varier sa direction aléatoirement. C'est seulement ainsi que le trouvera la plus haute colline. Car on évitera presque sûrement les autres sommets des collines plus basses.

C'est avec ce genre de mécanismes que de génération en génération, l'ADN a évolué (par mélanges, sélections et mutations diverses) autant efficacement.

Finalement, les mathématiques constituent peut être un domaine déterministe dans une certaine mesure, mais elles nous enseignent aussi que la diversité et un peu d'inattendu sont des ressources dont il ne faut pas se priver.

[modifier] Références

Le nombre d'étoiles (Image:Star.gif) correspond à un niveau de difficulté)

[modifier] Voir aussi

• Réplication de l'ADN
• Blaise Pascal
• Théorie des probabilités
• Pile ou face (jeu)