Induction mutuelle

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L'induction mutuelle est un coefficient permettant de décrire l'influence d'un circuit magnétique sur un autre. L'induction mutuelle traduit le fait qu'une variation de courant dans un circuit magnétique peut entraîner l'apparition d'une tension dans un autre circuit magnétique. L'induction mutuelle entre deux circuit est définie par le rapport entre le flux crée par un dipôle électrique traversant un second dipôle et le courant ayant crée ce flux.

Sommaire

1 Définition
2 Interaction entre un fil rectiligne infini et une spire rectangulaire
3 Voir aussi
- 3.1 Liens internes

[modifier] Définition

On considère courbes $C 1$ et $C 2$ parcourues par des courants $I 1$ et $I 2$ . Le courant $I 1$ produit dans tout l'espace un champ magnétique $B 1$ . Le flux généré par le champ magnétique $B 1$ a travers $C 2$ est noté $φ 12$ .

$\phi_{12} = \iint_{S_2} \vec{B_1}\cdot \vec{dS}$

En utilisant le potentiel vecteur $\vec{A}$ , on peut ré-écrire la relation précédente :

$\phi_{12} = \iint_{S_2} \vec{B_1}\cdot \vec{dS} =\iint_{S_2} \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec A_1 \cdot \vec{dS}$

En utilisant le théorème de Stokes, la relation précédente devient :

$\phi_{12}=\iint_{S_2} \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec A_1 \cdot \vec{dS}= \oint_{C_2}\vec A_1 \cdot d \vec l_2$

L'expression du potentiel vecteur généré par un circuit linéique $C 1$ parcouru par un courant $I 1$ s'écrit :

$\overrightarrow{A_1} = {\mu_{0}\over 4 \pi}\oint_{C_1} I_1 {\overrightarrow{dl} \over r_{12}}$

L'expression finale du flux est :

$\phi_{12}=I_1 \cdot ({ \mu_{0}\over 4 \pi}\oint_{c_2}\oint_{c_1} {\overrightarrow{dl_1} \cdot {\vec dl_2} \over r_{12}})$

que l'on note : $\phi_{12} = L_{12} \cdot I_1$ avec $L 12$ l'induction mutuelle entre le circuit $C 1$ et le circuit $C 2$ .

$L_{12}={ \mu_{0}\over 4 \pi}\oint_{c_2}\oint_{c_1} {\overrightarrow{dl_1} \cdot {\vec dl_2} \over r_{12}}$

On remarque que $L 12$ est inchangé par permutation des indices 1 et 2 dans les calculs d'où :

φ 21 = L 21 I 2 = L 12 I 2

[modifier] Interaction entre un fil rectiligne infini et une spire rectangulaire

Le champ produit par un courant rectiligne infini se calcule très simplement par le théorème d'Ampère. Prenons I1 suivant l'axe Oz et un cercle de rayon r pour faire: $\oint_c\vec{B_1(r)}\cdot \vec{dl(r)}= B_\theta (r)\oint_c r d\theta \vec{e_\theta}\cdot \vec{e_\theta}= B_{\theta} (r) r \cdot 2\pi = {\mu_{0}} I_1$

On en déduit que :

$\vec{B_1(r)}= B_\theta (r) \vec{e_\theta} = \frac {\mu_{0} I_1 } {2\pi r} \vec{e_\theta}$

Si on a une spire rectangulaire 2 avec deux côtés parallèles au courant I1 et de longueur L et les deux autres perpendiculaires, il est facile de calculer

$\phi_{12}=I_1 \cdot ({ \mu_{0}\over 2 \pi} L\oint_{c_2} {dr \over r})=I_1 \cdot ({ \mu_{0}\over 2 \pi} L\ln {r_2 \over r_1})$