Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

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La majoration des accroissements finis est une adaptation de l'inégalité des accroissements finis pour des fonctions à variable réelle et à valeurs vectorielles.

Énoncé : Soit E un espace vectoriel normé, et f une fonction définie sur un segment non vide de \R, [a,b], à valeurs dans E. g est une fonction réelle définie sur [a,b]. On suppose que f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[ et que :

\forall t \in ]a,b[, ||f'(t)|| \leq g'(t)

On peut alors dire que ||f(b) - f(a)|| \leq g(b) - g(a) .

Ce théorème est d'autant plus surprenant qu'il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n'y a pas d'égalité des accroissements finis, mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par \forall t \in [0,2\pi], f(t) = e^{it}. On a f(0) = f(2π), mais la dérivée ne s'annule nulle part entre 0 et 2π.

On en déduit par exemple qui si une fonction est dérivable et que sa dérivée est nulle, alors cette fonction est constante.