Inégalité de Schur

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L'inégalité de Schur est une inégalité utilisée en théorie des nombres.

[modifier] Enoncé

Soit a,b,c des nombres réels positifs et k un réel, alors on a:

a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\geq 0

avec égalité si et seulement si a = b = c

[modifier] Preuve

Quitte à permuter les variables, on peut choisir d'écrire c\leq b\leq a (de part la symétrie de la précédente inégalité). En arrangeant les termes, l'inégalité à démontrer est équivalente à :

(a-b)\left(a^k(a-c)-b^k(b-c)\right)+c^k(a-c)(b-c)\geq 0

Cette dernière inégalité est immédiate car tous les termes à gauche sont positifs.

[modifier] Voir aussi