Inégalité de Ptolémée

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L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.

Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

AB.CD \leq AC.BD+AD.BC

Cette inégalité se déduit directement de l'inégalité triangulaire en utilisant une involution.

Vectorialisons l'espace E en A. Notons respectivement b c d les vecteurs AB AC et AD.

Un calcul immédiat donne :

{\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\|}^2 = \frac{1}{\|b\|^2}-2\frac{<b|c>}{\|b\|^2\|c\|^2}+\frac{1}{\|c\|^2} =\frac{\|b-c\|^2}{\|b\|^2\|c\|^2}
\left\|\frac{b}{\|b\|^2}-\frac{c}{\|c\|^2}\right\| =\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}

Appliquons l'inégalité triangulaire à b/\|b\|^2, c/\|c\|^2, d/\|d\|^2 :

\frac{\|d-c\|}{\|c\|.\|d\|} \leq \frac{\|d-b\|}{\|b\|.\|d\|}+\frac{\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}

Multiplions cette inégalité par \|b\|.\|c\|.\|d\| :

\|b\|.\|d-c\|\leq \|c\|.\|d-b\|+\|d\|.\|b-c\|

D'où l'inégalité voulue !