Discuter:Inégalité de Cauchy-Schwarz

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

WikiProjet Mathématiques
 Inégalité de Cauchy-Schwarz fait partie du projet Mathématiques, qui a pour but d'enrichir le contenu de Wikipédia sur les sujets liés aux mathématiques. Si vous voulez participer, vous pouvez modifier cet article ou visiter la page du projet, où vous pourrez vous joindre au projet et consulter la liste des tâches et des objectifs. Le portail Mathématiques pourrait aussi vous intéresser.
À évaluer Cet article a été classé comme d'Avancement ? selon le Tableau d'évaluation du projet. (Voir les statistiques)
À évaluer Cet article a été classé comme d'Importance ? selon le Tableau d'évaluation du projet.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit n un entier supérieur ou égale à 1 ; ( x1, x2, x3,…) et (y1, y2, y3 …) deux suites de nombre réels. On considère le polynôme en t :

P(t) = (x1 + ty1)2 + (x2 + ty2)2 + ….. (xn + tyn)2

a/ Quel est le signe de P(t) ? Ordonnez ce polynôme par degrés decroissants de t.

b/ Deduisez-en l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

(x1y1 + x2y2 +x3y3 + …. + xnyn)2 ≤ (x12 +x22 + x32 + … xn2) * (y12 +y22 +y32+ …. +yn2)

c/ Montrez que cette inegalité est une egalité si et seulement si les suites (x1, x2, x3,…) et (y1, y2, y3 …) sont proportionnelles.


Remarque : cet article n'a rien à faire dans la section analyse complexe. Il s'agit d'algèbre bilinéaire (cas réel) ou sesquilinéaire (cas complexe).

[modifier] Autre démonstration

Je me demandais si une autre démonstration plus simple de cette inégalité pouvait être acceptée :

Deux vecteurs forment entre eux un angle alpha tel que le cosinus de cet angle soit égal à la division de la somme des produits des composantes par les normes des deux vecteurs.

cos(\alpha) = (\sum xi*yi)/(norme(x)*norme(y)).

(désolé je ne suis pas encore familier avec les signes de WP

Vu que -1 <= cos alpha <= 1 l'inégalité de Cauchy-Schwarz est triviale...

Voilà je vous demande votre avis sur cette démonstration !

Merci !

Ailethe 5 juillet 2006 à 12:43 (CEST)

oui mais il y a un cercle vicieux, tu as le droit de calculer (\sum xi*yi)/(norme(x)*norme(y)),mais avant de pouvoir l'écrire comme un cosinus il faut prouver que c'est inférieur à un en valeur absolue.
Le problème est que dans les « petites classes » on considère le cosinus comme connu au moment où on introduit le produit scalaire. Mais dans cet article, on part du produit scalaire comme un objet algébrique abstrait (forme bilinéaire symétrique définie positive), il faut donc prouver qu'on peut poser cos (α ) = ... Il faut bien regarder de quoi on part Peps 6 juillet 2006 à 18:37 (CEST)

Il n'est pas nécessaire de s'embarrasser avec un cosinus. L'inégalité triangulaire suffit, me semble-t-il.--Sveng 31 mai 2007 à 21:52 (CEST)

[modifier] Démonstration fausse !!!

La démonstration, actuellement presentée, est fausse ! L'erreur est la suivante :

1) on a estimé Re \langle x,y \rangle \le |\langle x,y \rangle|.

2) on veut dire que P(X) est toujours non-négatif est donc son determinant non-positif. Mais la positivité de P(X) est basée sur la positivité de

Q(X)= \|x+X.y\|^2 = \|y\|^2 X^2 + 2 Re \langle x,y \rangle X + \|x\|^2 ,

et l'inégalité Q(X)\ge P(X)\ge 0 est valable seulement pour X \ge 0: on diminue le facteur devant X. D'autre côté, pour calculer le determinant de P(X)on l'applique au sommet X_0=-|\langle x,y \rangle|/\|y\|^2, qui est négatif.

Victor Kleptsyn.

Merci, j'ai proposé une autre version de la preuve, que j'espère correcte (et, je dois avouer que j'ai séché, et que j'ai dû consulter le bouquin d'agreg de Gourdon). Salle 24 septembre 2007 à 10:24 (CEST)