Discuter:Hypothèse du continu

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1) On écrit "Fraenkel" et non "Frenkel".
2) Il y a un problème dans les toutes premières lignes, que je n'ai pu résoudre : l'expression "nombre transfini" semble avoir disparu(e) des livres de logique et de théorie des ensembles datant de moins de 30 ans (j'en ai plusieurs chez moi, en français ou anglais) ; je l'ai trouvé(e) dans la traduction en anglais de l'encyclopédie alphabétique russe parue chez Kluwer - mais cela ne désigne que les nombres ordinaux. Il faudrait vérifier dans les écrits de Cantor ; je pourrai sans doute le faire.

J'ai été voir une traduction française des originaux de Cantor (http://gallica.bnf.fr), et il est tout à fait exact que Cantor a parlé de "cardinaux transfinis". Dont acte. CD 30 jan 2005 à 23:00 (CET)

3) Woodin a écrit récemment, dans les Notices of (the?)American Mathematical Society (http:/www.ams.org ; le www semble nécessaire) qui sont d'accès gratuit sur la toile, deux articles de "vulgarisation" sur son oeuvre - je ne les ai pas lus (mais j'ai récupéré les .pdf, avis aux amateurs), ayant à la place entendu à Rouen une conférence splendide de Dehornoy (de Caen) reprenant son exposé au séminaire Bourbaki (j'ai aussi le .pdf), mais, à mon âge, on ouble vite les choses nouvelles... Pour recevoir de la documentation (sur cela ou autre chose), m'écrire à Claude.Dellacherie@univ-rouen.fr CD 26 jan 2005 à 00:51 (CET)

Sommaire 1 Fusion du 21 septembre 2006 à 12:40 (CEST) 2 Juste une précision 3 Formulation et axiome du choix 4 Evaluation de l'article

[modifier] Fusion du 21 septembre 2006 à 12:40 (CEST)

Tout ou partie de cet article est issu de « ↳ Premier problème de Hilbert (h · j · ↵) », également publié sous licence GFDL, et qui a été transformé en simple redirection vers le présent article. Consultez l'historique de l'article « Premier problème de Hilbert » pour connaître la liste de ses auteurs.

[modifier] Juste une précision

En toute rigueur, et si je ne m'abuse, Cohen a démontré en 63 la consistance relative de la NEGATION de l'Hypothèse du Continu avec les axiomes de ZF. Ceci ajouté au résultat obtenu précédemment par Gödel permet, en effet, de conclure à l'indépendance de HC dans ZF. C'est juste une toute petite précision, mais qui a le mérite de signifier que, en gros, Gödel et Cohen ont chacun "fait la moitié" du boulot. ;-)

[modifier] Formulation et axiome du choix

N'étant pas spécialiste du domaine, peut-être que quelque chose m'échappe mais je ne vois pas comment parler du cardinal sans utiliser l'axiome du choix. En effet, la définition des cardinaux comme ordinaux sans l'axiome du choix ne permet pas d'exhiber de cardinal strictement plus grand (on ne sait pas décrire de bon ordre sur le continu) et la définition comme classes d'ensemble ne permet pas de montrer qu'il existe un cardinal minimum parmi les parties du continu non dénombrables.
Une formulation qui n'utiliserait pas l'axiome du choix pourrait être : « il n'existe pas de partie de qui ne soit ni dénombrable ni équipotente à  » mais je ne sais pas exactement ce qu'ont démontré Gõdel et Cohen.
Enfin, noter que « pour définir la notion de nombre cardinal d'un ensemble dans la théorie ZFC on a besoin de l'axiome du choix » est un peu une lapalissade vu que le « C » désigne justement l'axiome du choix.--Ambigraphe, le 6 septembre 2007 à 09:30 (CEST)

(je ne suis non plus spécialiste de théorie des ensembles, même si je m'y intéresse). Tu as tout à fait raison. C'est ce qui a motivé mon intervention sur la section "hypothèse du continu et axiome du choix" (qui existait sous un autre titre et que je viens de renommer encore). Si tu veux dire qu'il faut également réécrire ou préciser ce qui précède(section définition en particulier), je suis d'accord. Il y a des choix de présentation à faire. Cantor avait introduit la série des alephs en utilisant implicitement l'axiome du choix (et avec une définition des ordinaux qui n'est pas la notre...). Tout l'article est d'ailleurs à réécrire (les résultats de Gödel et Cohen méritent plus d'être détaillés que celui de Sierpinski).

(juste pour ta dernière phrase : on peut quand même dire dans une théorie axiomatique que l'on se sert ou non d'un des axiomes, mais c'est un détail d'expression). Proz 6 septembre 2007 à 10:51 (CEST)

Bof, si je définis (comme c'est généralement le cas) comme le cardinal de l'ensemble des parties des entiers naturels, je n'utilise pas l'axiome du choix. Je peux ensuite montrer, sans utiliser l'axiome du choix, que est plus grand que, au sens de Kantor Bernstein, . La logique des parties des ensembles et le théorème de Kantor Bernstein évite la nécessité de l'axiome du choix, l'axiomatique de Péano est suffisante pour définir les nombres ordinaux. L'axiomatique ZF ne demande que l'utilisation de l'axiome de l'infini. En revanche, je reconnais que trancher l'hypothèse du continu sans l'axiome du choix très ambitieux.Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 11:37 (CEST)

Si tu définis comme , c'est que tu admets de facto l'hypothèse du continu, ce qui est effectivement courant mais pas systématique. Je n'avais jamais fait attention à cette distinction avant de lire l'article sur le nombre cardinal mais c'est assez clair.--Ambigraphe, le 6 septembre 2007 à 12:08 (CEST)

Eh, j'évite habilement la question. J'indique juste l'existence d'un ordinal supérieur. Quand à savoir s'il existe un je reste d'une discrétion pudique sur cette question. Tant que je ne prétend pas que est le plus petit ordinal strictement supérieur à je n'affirme ni n'infirme quoi que ce soit sur l'hypothèse du continu. J'en serais d'ailleurs bien incapable dans le contexte de Peano ou ZF, sinon cette proposition ne serait pas indécidable et notre ami Cohen un farceur. Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 12:34 (CEST)

Définir comme le cardinal de l'ensemble des parties des entiers naturels est une erreur historique et mathématique, j'espère qu'elle n'est pas si courante. On ne comprend plus rien à la plupart des énoncés de l'hypothèse du continu. Cantor utilisait une autre lettre hébraïque. En théorie des ensembles la définition n'a pas variée depuis Cantor est le plus petit cardinal strictement supérieur à (définition reprise dans ZFC). Pour les ordinaux : Peano ne suffit pas pour définir les ordinaux de la théorie des ensembles, ceux auxquels pense Cantor, comme des ensembles (même Zermelo ne suffit pas, il faut le remplacement ne serait-ce que pour définir l'ordinal de von Neumann ω + ω). Que l'on puisse quand même parler de bons ordres, et donc d'ordinaux, dans des théories plus faibles c'est une autre histoire. Proz 6 septembre 2007 à 12:55 (CEST) Précision : c'est en fait toute la série des alephs, indexée par les ordinaux, qui serait remise en cause par un changement de définition, pas seulement . Proz 6 septembre 2007 à 15:31 (CEST)

Mon Dieu, serais-je en désaccord avec l'admirable Proz, c'est possible et en plus comme je me réfère à un cours vieux de 20 ans et que je n'irais pas vérifier mes sources, je réclame avant toute polémique le droit à l'indulgence.

Polémiquons d'abord sur l'aspect purement mathématiques. Je prétend qu'il est exactement équivalent de définir le nombre ordinal comme représenté par l'ensemble des parties des entiers naturels ou comme le plus petit nombre ordinal strictement supérieur à sous réserve de l'hypothèse du continu. Sommes nous d'accord ? (Au fait, pourquoi parlez vous tous de cardinal? un cardinal infini n'est pas un nombre et il n'y a plus de relation d'ordre, un nombre ordinal c'est tout de même plus facile)

La présentation que j'ai reçu du théorème de Cohen (et qui date de 20 ans) commençait par la construction des nombres ordinaux. On construisait avec ZF et sans l'axiome du choix et encore moins l'hypothèse de continu, ce qui montrait par exemple l'existence de nombres transcendants. Dans un deuxième temps on introduisait l'axiome du choix avec comme application les jolis démonstrations de Borel à l'aide des suites transfinis (très rigolo). Ce posait alors naturellement la question d'un ensemble E tel qu'il existe une injection entre N et E et qu'il n'existe pas de surjection et une injection entre E et les parties de N et qu'il n'existe pas de surjection. L'indécidabilité et le cadre du théorème d'incomplétude de Gödel permettait alors d'adjoindre un axiome supplémentaire : l'hypothèse du continu.

Historiquement, je ne suis pas bien féru et demande l'indulgence du jury (et particulièrement de Proz). Néanmoins, comment construire une théorie des ordinaux sans les travaux de Bernstein Gödel et Cohen ? Soit dit en passant, n'ayant jamais lu les textes originaux de Kantor, je reconnais que mon avis ne doit pas peser lourd. Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 16:19 (CEST)

PS: la relation d'ordre est définie dans un ensemble, or il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles, parler d'un ensemble strictement plus grand que N au sens des cardinaux me semble osé. Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 16:25 (CEST)

Bonjour,

J'interviens juste pour donner une petite précision pour nuancer le Post Scriptum. S'il existe, l'"ensemble" de tous les ensembles vit nécessairement en dehors du modèle de la théorie de ZF (par exemple) ce qui ne signifie pas qu'il n'existe pas. Il n'est donc pas gênant d'affirmer que l'inclusion définit une relation d'ordre sur les ensembles ; mais cette relation ne vit pas dans le modèle considéré. Cette relation d'ordre n'est pas d'une autre nature que les relations d'ordre du modèle.

On peut aussi donner une "théorie des relations d'ordre" s'appuyant sur un langage avec un symbole de relation d'arité 2, <. Tout ensemble ordonné est modèle de cette théorie. En interprétant ce symbole comme l'inclusion d'ensembles, on peut affirmer que tout modèle de la théorie des ensembles (ZF) est un modèle de la théorie des relations d'ordre. Ce qui confirme que l'inclusion est une relation d'ordre qui n'est pas d'une autre nature.

Sinon, je laisse répondre Proz sur le reste

Kelemvor 6 septembre 2007 à 17:59 (CEST)

Oui, on pourrait ajouter éventuellement quelques guillemets mais sur le fond il n'y a pas de problème tant que l'on envisage pas la "relation" d'ordre elle-même comme un ensemble (de couples) et qu'on sait la définir dans le langage de ZF bien-sûr. Pour le reste.

Nous sommes d'accord, c'est juste que dans un article de logique, la tradition me semblait à la rigueur de l'expression. Dans le fond, pas de quoi fouetter un chat.

Tout d'abord l'hypothèse du continu n'est pas usuellement ajoutée aux axiomes. Sinon effectivement il n'y aurait pas de problèmes. Il faudrait avoir une bonne raison pour le faire. Personne n'en a donné de décisive. La tendance actuelle (pour des raisons que je suis bien incapable de préciser et qui demandent des développements mathématiques complexes) ce serait plutôt . Il y a des développements récents, mais l'idée elle même remonte au moins à Gödel.

Nous sommes encore d'accord, l'hypothèse du continu n'est pas usuellement ajoutée aux axiomes, mais je ne comprend pas comment alors tu définis .

est défini comme la deuxième plus petite cardinalité infinie. A noter que indépendemment de HC est parfois noté (beth 1) L'HC peut donc aussi être écrite . --Epsilon0 6 septembre 2007 à 21:26 (CEST)

Existence de nombres transcendants : je crois reconnaitre l'argument de la diagonale de Cantor (ou sa première preuve), pas besoin d'AC, ni de parler d'ordinaux ou d'alephs.

C'est indéniable, je pensais à Kantor Bernstein mais cela revient strictement au même et tu as raison.

Cardinaux : dans ZFC les cardinaux sont des ordinaux particuliers (non équipotents à un ordinal strictement inférieur). La suite des alephs est "construite" par Cantor comme la suite de ces ordinaux, indexée par la totalité de la classe des ordinaux eux-mêmes. Chacun de ces ordinaux particuliers représente une classe d'équipotence. Sur le fond, ça n'a pas beaucoup varié depuis.

Ordinaux : Cantor les voit comme des "types d'ordre" (de bon ordre), on pourrait dire des classes d'isomorphie pour les bons ordres, mais je ne sais plus s'il est aussi précis. En tout cas pour les définir comme des ensembles c'est von Neumann vers 1920 (en tout cas bien avant Gödel et Cohen). Le théorème de Cantor-Bernstein n'a rien à voir (c'est plutôt simple de comparer des bons ordres). Pour les aspects historiques, j'avais mis quelques trucs dans paradoxe de Burali-Forti (la partie concernant Cantor).

J'aime bien les ordinaux car il existe une relation d'ordre et le vocabulaire est plus aisé, mais c'est tout.

Théorème d'incomplétude de Gödel : pas de rapport a priori (il y a équi-cohérence entre ZF, ZFC, ZFC+HGC etc.).

Nous sommes d'accord, Emile Borel utilisait les suites transfinis bien avant Gödel. Maintenant tel que tu définis , ou au moins pour ce que j'en ai compris il te faut ZFC+HGC ? pour cela il faut bien montrer l'existence d'une indécidabilité pour ajouter un axiome non?

La preuve de Cohen : ce que je sais du forcing est sommaire et très lacunaire, mais vu ton résumé, hum ..., si tu avais assisté à une présentation qui allait jusqu'à cette preuve, ça aurait dû te laisser plus de souvenirs. Parce que si tu as commencé par la construction des ordinaux ... ça a dû prendre du temps ! Proz 6 septembre 2007 à 19:28 (CEST)

Tu sais, en 20 ans... Touriste a du suivre le même j'imagine, mais de toute manière, pour ce que je m'en souviens cela ne vaut pas tripette. Jean-Luc W 6 septembre 2007 à 19:56 (CEST)

(La preuve du th. de Cohen n'est pas simple, on ne peut pas l'exposer dans un cours d'introduction).

Les alephs se définissent dans ZFC. Je te résumes ce qui se fait sans chercher à être minimaliste sur les hypothèses (si on ne s'intéressait qu'à aleph(1)). La classe des cardinaux est une sous-classe des ordinaux, et se définit dans ZF, mais elle ne représente bien les cardinaux (existence d'un représentant par classe d'équipotence) que dans ZFC. La sous-classe des cardinaux infinis est non vide (axiome de l'infini), bien ordonnée (sous-classe des ordinaux), ce n'est pas un ensemble (axiome de remplacement), elle est donc "isomorphe" à la classe des ordinaux (définition par induction sur la classe des ordinaux, donc axiome de remplacement). aleph(alpha) est l'image de l'ordinal alpha par cet "isomorphisme", en particulier aleph(0) est le plus petit, aleph(1) le suivant etc. Détails dans un livre de théorie des ensembles, premiers chapitres de Krivine par ex., mais, hors axiomatisation, détails de vocabulaire et de formalisation, c'est la démarche de Cantor pour définir les alephs.

Pour pouvoir ajouter de façon cohérente un axiome à une théorie que l'on suppose préalablement cohérente, il suffit de savoir que sa négation n'est pas démontrable dans la théorie : c'est le résultat de Gödel pour l'hypothèse du continu (généralisée ou non), de Cohen pour sa négation (idem). Les th. d'incomplétude sont des résultats de non démontrabilité également, mais assez différents, le second est utilisé en th. des ensembles mais pas ici. Proz 7 septembre 2007 à 11:05 (CEST)

Merci proz pour le temps passé à m'éclaircir. Je ne comprend toujours pas deux détails. Sans l'hypothèse du continu, comment sait tu que aleph(1) est strictement plus grand que aleph(0)? si les aleph avaient une structure d'ordre un peu analogue à celle des rationnels, le raisonnement tient-t-il toujours? Le deuxième détail est le suivant: Il me semble que cette logique suppose l'utilisation d'équipotence, le terme plus grand que n'est plus ici pris deux à deux, me semble-t-il ? Je sais que je suis naïf sur la question, mais d'autres lecteurs le seront peut-être aussi.Jean-Luc W 7 septembre 2007 à 11:21 (CEST)

J'ai un peu de mal à imaginer une structure d'ordre sur les cardinaux analogue à celle des rationnels, désolé. On sait par construction que les alephs sont bien ordonnés. Pour l'existence d'un cardinal strictement plus grand que aleph(0), c'est à dire d'un ordinal supérieur à omega et qui ne soit pas équipotent à omega (aleph(1) est le plus petit d'entre eux), je te donne un argument massue : les cardinaux (définis comme ordinaux cf. ci-dessus) infinis forment une classe propre qui ne peut donc être réduite à un élément. L'argument repose sur l'axiome de remplacement et bien sûr le fait que les ordinaux forment une classe propre (paradoxe de Burali-Forti). Si à partir d'un certain rang tous les ordinaux étaient équipotents, cela voudrait dire que tu pourrais les injecter dans les bons ordres définis sur le plus petit de ces ordinaux, qui forment un ensemble (ensembles de couples d'un ensemble), ce qui contredit le remplacement. Tout ça (mieux détaillé) devrait apparaître dans l'article nombre cardinal, mais ça n'est pas aujourd'hui ma priorité, pour tout dire. Proz 7 septembre 2007 à 12:22 (CEST)

Voilà la pièce manquante, les alephs sont bien ordonnés. Dans ce contexte, tu as raison. Le reste est essentiellement du détail. Si la démonstration date de Cantor, alors je comprends comment on a pu construire une théorie des ordinaux sur la logique que tu indiques avant Gödel et Cohen. Jean-Luc W 7 septembre 2007 à 12:39 (CEST)

PS après les éclaircissements et une relecture de l'article, aucun doute, il est remarquable. Mes remarques ne sont pas pertinentes. Je comprend pourquoi c'est l'article nombre cardinal qui te semble l'article à travailler. Dommage que cela ne soit pas ta priorité. Si je peux m'autoriser une suggestion, il manque peut-être un modèle non pas sur les problèmes de Hilbert, qui n'est pas forcément le centre de l'article mais sur les articles associés à cette problématique. Je n'aurai jamais trouvé le remarquable article Paradoxe de Burali-Forti sans ton aide. Merci encore. Jean-Luc W 7 septembre 2007 à 13:11 (CEST)

J'avoue que j'ai le plus grand mal à me représenter un sous-ensemble borné de R qui ne soit ni un intervalle ni un ensemble fini/dénombrable de points ni une réunion d'intervalles et d'ensembles finis/dénombrables de points. A quoi pourrait ressembler un sous-ensemble de R de cardinalité bâtarde? - Michel421 (d) 22 novembre 2007 à 23:23 (CET)

Il suffit de prendre l'intersection des irrationnels avec un intervalle borné ;)

 ? sa cardinalité est celle de |R. --Epsilon0 (d) 31 décembre 2007 à 19:46 (CET)

Je sais bien je répondais seulement à la première question (un sous-ensemble borné de R qui ne soit ni un intervalle ni un ensemble fini/dénombrable de points ni une réunion d'intervalles et d'ensembles finis/dénombrables de points). Pour ce qui est des ensembles de cardinalité "bâtarde", si on pouvait se représenter facilement de tels ensembles la question du continu ne se poserait pas ;)

[modifier] Evaluation de l'article

Pour l'importance de l'article, je choix ne peut, à mon avis, qu'être maximum ou élevé, car c'est un problème de Hilbert. Pour l'avancement, il est court mais remarquablement bien fait. Jean-Luc W 7 septembre 2007 à 14:22 (CEST)

L'importance me semble effectivement élevée (mais pas plus). En ce qui concerne l'avancement, puisqu'il me semble plus pertinent d'indiquer les manques que de donner une note, je dirais que l'article hésite un peu trop à mon goût entre les différentes conceptions de cardinal, particulièrement dans les paragraphes de définition, de cardinalité et dans le dernier. Il vaudrait mieux distinguer dans chaque cas quelle formulation donner à l'hypothèse et préciser laquelle a été démontrée indécidable. Par ailleurs, il y a un peu de redites, notamment sur l'équipotence.--Ambigraphe, le 7 septembre 2007 à 14:44 (CEST)

La règle du jeu est d'indiquer une note, c'est pour cela que je l'ai fait. Je trouve déjà un peu ridicule que quelqu'un comme moi donne une évaluation du travail d'un Proz (soyons honnête, sa compétence dans le domaine et ses qualités didactiques me dépassent de trois têtes) mais de là à lui proposer des recommandations, voilà un pas que je ne franchirais pas. Pour une relecture naïve, je ne dis pas non, mais pour le reste ... Je partage ton opinion sur le fait que l'article est améliorable, mais je laisse prudemment à d'autres le soin d'agir.Jean-Luc W 7 septembre 2007 à 15:08 (CEST)

C'est bien parce que je suis loin d'être spécialiste du sujet que je me sens incapable de noter l'avancement au sens où il a été défini pour WP 1.0, à savoir l'exhaustivité des aspects de la notion. Il faut vraiment s'y connaître pour dire si on a fait le tour ou pas (d'où mes critiques à WP 1.0, mais c'est un autre problème).

En revanche, j'espère ne vexer personne en remarquant qu'il y a quelques points sur lesquels la rédaction peut être améliorée. Personne (et certainement pas moi) ne peut se targuer de rédiger parfaitement et une critique (que je souhaite constructive) est encouragement à faire mieux. Si Proz n'avait pas l'air aussi compétent et actif, je ne me fatiguerais pas à émettre des suggestions.--Ambigraphe, le 7 septembre 2007 à 15:30 (CEST)

Je précise que je suis loin d'être responsable de l'ensemble de l'article, que j'avais juste commencé de retoucher, je ne dis pas ça pour me défausser, au moins au niveau de l'organisation ces retouches sont criticables. Pour l'avancement je suis en gros d'accord avec Ambigraphe (ceci dit toutes les formulations sont indécidables bien-sûr). Il faudrait aussi mieux hiérarchiser, donner une idée des méthodes utilisées ... Pour l'importance : c'est tellement subjectif, maximale en théorie des ensembles (c'est vraiment quelquechose qui a été moteur, et l'est toujours en partie), en analyse certainement pas maximale mais j'ai du mal à juger, je suppose nulle dans d'autres domaines des maths ... Proz 7 septembre 2007 à 15:36 (CEST)

En effet, je trouve que les notations des articles sont une perte de temps et au final très discutables.

Personnellement, j'aurais trouvé que Bon début aurait été plus correct. En effet, sans être spécialiste, on peut juger sans peine que l'article offre des informations et le contenu couvre correctement de nombreux aspects du sujet, critères pour avoir BD. Seulement, on ne peut pas garantir que l'article couvre l'essentiel de ce qu'il faut pour en faire un article complet.

Par exemple, toujours sans être spécialiste, on constate sans difficulté que les parties Indécidabilité et Hypothèse généralisée du continu et axiome du choix sont très insuffisantes. Le lien avec la théorie de la mesure et l'analyse mériterait certainement d'être développé ; des axiomes intéressants incompatibles avec l'hypothèse du continu mériteraient d'être explicitement mentionnés et leur intérêt développé. J'ai l'impression (la fausse impression?) que l'article est rédigé plus du point de vue de la démonstration que du point de vue des modèles. Enfin, toujours sans être spécialiste, je trouve la partie Histoire bien trop courte.

Et je rappelle que toute critique est positive .

Ekto - Plastor 7 septembre 2007 à 16:47 (CEST)