Discuter:Histoire de la fonction zêta de Riemann

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Cette évaluation est personnelle. Ma compétence sur le sujet met à caution sa pertinence. Cependant, après avoir lu plusieurs fois l'article et relu les différents critères, j'imagine que cette mise à jour est justifiée. Jean-Luc W (d) 8 février 2008 à 11:54 (CET) bonjour,

Il s'agit de la première version de cet article. Donnez moi votre avis. Inutile de me faire remarquer que je ne suis pas la tradition concernant la définition de Li(x). Je l'ai défini par $Li(x)= \int_2^x{\frac{du}{\ln u}}$ et j'élimine ainsi la singularité de l'intégrale en 1. Franchement, je ne comprends pas trop pourquoi il faudrait partir de 0 et se compliquer la vie avec une partie principale alors que l'on n'a de toute façon pas une égalité parfaite, et que la différence est un nombre. Claudeh5 19 juin 2006 à 18:30 (CEST)

Salut, tout d'abord merci pour ton travail considérable, je suis en train de le wikifier en mettant les liens vers les autres articles. Concernant le logarithme intégral j'ai résolu la chose tout simplement en mettant un signe d'approximation au lieu du signe égal, c'est tout aussi convenable à l'infini et permet de conserver les notations standards ce qui est la meilleure chose à faire ici. Bien cordialement et bon courage pour la suite! LeYaYa 19 juin 2006 à 22:29 (CEST)

En fait, j'ai bien l'impression qu'il existe une fonction Li(x) définie comme je l'ai dit précédemment et une fonction li(x) (avec un l petit) dont l'intégrale part de 0. De ce fait, je n'ai plus aucun remord !Claudeh5 19 juin 2006 à 23:44 (CEST)

oui tu as raison, je suis allé consulter en:Logarithmic integral function et c'est bien ce qu'ils disent. LeYaYa 21 juin 2006 à 11:09 (CEST)

[modifier] Une première lecture

Une première remarque, voilà un travail remarquable, une analyse relativement exhaustive et souvent particulièrement clair. Pour moi, il existe deux axes d'amélioration (enfin à mon avis).

Il manque une introduction synthétique, qui répond aux questions suivantes:
- Pourquoi la recherche des nombres premiers est une question si importante qu'elle est ouverte depuis l'antiquité?
- Quelle est l'importance de cette étrange question de répartition des nombres premiers?
- Pourquoi une démarche avec la fonction zeta de Riemann et pas autre chose?
- Pourquoi cette conjecture est considérée par beaucoup comme une des plus fondamentales des mathématiques actuelles?
- Quel serait la conséquence de la démonstration de la conjecture, en mathématiques comme dans la vie de tous les jours (je pense à la cryptographie)?
- qu'est ce que cette conjecture a apportée aux mathématiques, quelles branches des mathématiques sont affectées?

Voilà du matériel superbe, en revanche il est (à mon avis) mal intégré à l'encyclopédie.

Je vais essayer d'illustrer mon propos par Euler, d'ou viennent les nombres de Bernouilli? pourquoi interviennent-ils? en quoi ont ils un rapport avec les nombres premiers? Comment trouve-t-on un lien entre la fonction zéta et la divergence de la série harmonique. Autant je conçois parfaitement que pour la suite de l'article la notion de série harmonique est familière au lecteur, autant à ce niveau de l'article une explication me semble nécessaire.

En bref, si le paragraphe est passionnant, le savoir sous-jacent n'est pas inclu dans l'article. Donc pour une réelle compréhension de tes propos, je suis bloqué. La seule solution pour garder l'article dans des proportions raisonnables consiste donc à réaliser des liens avec d'autres articles et à terme à opérer un transfert massif de cet article vers ceux qui doivent contenir de manière plus naturelle cette matière.

Je suis conscient de la difficulté majeure de l'approche que je préconise. Elle tient à la nature même de l'article. La fonction Zéta s'appuie sur une base mathématique si vaste, et parfois si complexe que le travail à réaliser pour appliquer ce plan est titanesque.

De manière pratique, je propose l'adjonction d'une forte synthèse en introduction, et petit à petit quand l'encyclopédie s'enrichira transférer le contenu technique vers d'autres articles avec un lien du type article associé pour ne garder ici que la partie synthèse et rôle dans l'histoire, qui est le sujet de l'article. Pour moi, le problème ne peut donc se limiter à une Wikification de l'article.

En conclusion, bravo pour ce magnifique travail, il montre que la route est encore longue pour pouvoir disposer d'une encyclopédie mathématique digne de ce nom. Jean-Luc W 25 juin 2006 à 13:28 (CEST)

Comment trouve-t-on un lien entre la fonction zéta et la divergence de la série harmonique.

facile. on fait tendre s (réel) vers 1 dans la définition de la fonction zeta par euler. On a aussitôt la série harmonique. Or depuis longtemps (Tartaglia au moins), on sait que la série diverge. Donc, d'après le produit eulérien, si l'on avait seulement un nombre fini de nombres premiers, le produit eulérien (partiel) serait convergeant vers une constante finie non nulle. Ce qui est contraire au fait que la série harmonique diverge.

le savoir sous-jacent n'est pas inclu dans l'article.

Evidemment, cela aurait été préférable... Mais je me suis refusé d'inclure les démonstrations. En effet, celles-ci sont longues et souvent complexes. Bon, je ferais (peut-être) quelques exceptions...

[modifier] première lecture aussi

je suis assez d'accord avec les remarques de Jean-Luc ; je me contenterai d'ajouter ou d'appuyer

il manque une introduction dans le sens indiqué par Jean Luc ; mais sans doute est il mieux de rédiger l'intro après l'article
il faudrait définir par contre précisément les contours de l'article et repérer un ou deux articles associés. Actuellement en effet, il est très souvent question de l'aspect "histoire des nombres premiers" au milieu des considérations purement fonction zeta;. Vu la densité du matériau, séparer en deux articles convenablement délimités et liés me paraîtrait plus digeste.
il faut d'ailleurs au passage recenser ce qui existe dans la catégorie catégorie:nombre premier et faire des liens vers cela

Enfin pour l'avis global : même si le matériau n'est actuellement pas assez inséré dans l'encyclopédie, le travail est remarquable. Il y aura donc surtout à faire sur la forme. Peps 25 juin 2006 à 14:16 (CEST)

pour ce qui est de la catégorie:nombre premier, il n'y a malheureusement que deux points de contact: le théorème des nombres premiers et le théorème de raréfaction des nombres premiers. Tous les deux sont déjà cités (voir Hadamard et De la Vallée Poussin pour le premier, Legendre pour l'autre.

Pour ce qui est des nombres premiers, en tant que tels, leur introduction se limite à la conjecture de Legendre. La théorie de la fonction zeta se développe ensuite indépendamment des nombres premiers (même si les résultats s'interprètent ensuite en terme de nombres premiers).

[modifier] orthographe

Je remercie vivement tous ceux qui se sont attachés à enlever les fautes d'orthographe que j'ai pu faire dans ce texte. Sincèrement.Claudeh5 10 décembre 2006 à 14:08 (CET)

[modifier] Avancement

J'ai mis que l'avancement était "bon début". J'aimerais avoir votre avis.Claudeh5 23 septembre 2007 à 13:55 (CEST)

[modifier] Relecture de JL

[modifier] Première relecture

L'objectif est ici de noter au fil de la lecture mes remarques. Attention, à ce stade, la pertinence des remarques risquent d'être faible. Un tri et une deuxième relecture permettront d'y voir plus clair.

[modifier] Introduction

Le mot mathématique est absent, la fonction zeta de Riemann n'est que peu introduite. Je ne retrouve pas mes repères classique. Pour moi, l'introduction me permet de savoir si l'article répond à la question que je me pose. Je m'attend à une introduction à la hauteur de l'article.

[modifier] Antiquité de la fonction Zeta de Riemann

Je n'ai pas encore compris la problématique. Je la relie mal avec le titre, est-ce l'histoire de la fonction Zeta de Riemann ou l'histoire de la répartition des nombres premiers?

J'ai récris une partie de l'introduction. C'est mieux ?.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:02 (CEST)

[modifier] Le crible d'Eratosthène

L'exposé est clair le style est plaisant. Mais qu'elle est le contexte historique, où sommes nous, quand sommes nous?

[modifier] Formule du crible

Le changement de sujet est trop violent à mon goût. On part de l'histoire de la fonction zeta, on démarre à Erasthotène justifié par une connexion avec la problématique de la fonction zeta, on passe aux avatars du crible. Le contributeur me demande un trop grand écart.

c'est dû au fait que j'ai besoin de la formule du crible pour faire un lien entre l'antiquité et la formule de Legendre. C'eet la formule du crible. Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:02 (CEST)

[modifier] Conjecture non démontrée

La linéarité de l'article m'échappe, le lien entre le paragraphe précédent et les deux conjectures est trop lointain.

Le passage à l'antiquité et au moyen-age me remet en selle. Mais, l'indication de l'absence de progrès formalisée de cette manière soulève mon coté polémique. La fonction zéta fait appel aux concepts de convergence, série, plan complexe ... Le sujet est passé sous silence. L'article est riche, que justifie une telle impasse ? Le rédacteur ne m'aide pas assez pour comprendre le fil de sa pensée.

Le style redevient plaisant, la lecture est aisée et agréable. A part le défaut de l'absence de visibilité de la raison de la suite dans les idées énoncée, le texte est claire.

[modifier] La naissance de Zeta

[modifier] Problème de Mengoli

Encore un texte clair,si ce n'est le problème de la précision du savoir. Je n'aime guère les on prétend car je ne sais jamais quoi en penser. Une difficulté à comprendre la relation entre la formule de Stirling et le problème de Mengoli.

[modifier] Leonhard Euler

en utilisant les relations entre les racines d'un polynôme, et en faisant tendre le degré du polynôme vers l'infini qu'il obtient la première justification de sa conjecture de 1735, où en parle-t-on dans l'encyclopédie, c'est intéressant cette affaire.

c'est la démonstration non rigoureuse donnée dans l'article sur le problème de Mengoli.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:39 (CEST)

L'explicitation de la formule me semble inutile, je préfère un lien vers un article bien fait pour délabyrinther cette question, ici et à mon goût soit c'est en trop, soit on rentre dans le détail et il en manque trop. En bref, il manque le lien qui résoud la question.

En revanche je reste sur ma fin sur l'aspect qualitatif. Pourquoi Euler est-il si fier? Quel est le rapport avec les nombres de Bernoulli ?

Comme indiqué dans l'article sur le problème de Mengoli, les plus éminents mathématiciens n'avaient pas pu résoudre le problème... Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:39 (CEST)

La phrase Par conséquent il existe un lien, inconnu jusque là, entre les nombres premiers et la fonction ζ. est passionnante, mais pas suffisamment développé. Cette phrase semble être un nexus de l'article, si j'en crois ce qui m'a été annoncé avant, pourquoi ?

La phrase sur les produits Eulériens semble être une clé importante. Une articulation habile entre les deux articles apparait comme un ingrédient essentiel à la réussite de l'article. Je m'attend ici à une explication qualitative pertinente et pour le deuxième article à un degré de détail mathématique suffisant pour comprendre la profondeur de l'explication ici présente.

Commentaire de 1751. Encore une remarque passionnante! Quel est le lien ?

En bref, on sent bien qu'Euler est sur le scoop de sa vie, du début à la fin du paragraphe. Mais on ne comprend pas exactement quelle est la nature du scoop ni comment il a bien pu flairer ce scoop.

[modifier] Les travaux de Legendre

Je verrais plutôt Travaux de Legendre

Sur le coup, je n'ai pas compris le problème. Il est vrai que Legendre a travaillé sur de nombreux sujets pas forcément liés à zeta ou aux nombres premiers. Ici, le terme "Les ..." devaient être compris comme "Les travaux de Legendre" dans ce contexte.

Les mêmes forces apparaissent dans le paragraphe, agréable à lire précis et clair. En revanche, le style s'approche de la liste de résultats, pas de synthèse ou d'analyse historique.

Je suis gêné par le saut historique par Hadamard, le zig-zag ne me convainc pas.

Le rôle de la fonction indicatrice d'Euler n'est pas présenté, rien sur ce résultat d'Euler pourtant objet d'un paragraphe entier. Je ne comprend pas le point de vue consistant à ne pas en parler.

Bon, je vais voir ce que je peux dire là-dessus. Il est vrai que l'indicatrice d'Euler intervient dans la conjecture de Legendre qui aboutira au théorème de Dirichlet.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:09 (CEST)

Le théorème de raréfaction des nombres premiers est indiqué comme démontré en 1808 à cet article. Cette affirmation est contredite dans l'article Théorème de la raréfaction des nombres premiers.

Non, le théorème de raréfaction est bien de Legendre et vient de la formule que j'ai donnée issue de la formule du crible (le voilà !). Aujourd'hui, c'est une conséquence du théorème de Hadamard-De la Vallée Poussin. Il n'y a pas de contradiction, seulement une légère ambiguité dans l'article Théorème de la raréfaction des nombres premiers que je m'en vais rectifier.Claudeh5 23 septembre 2007 à 20:09 (CEST)

[modifier] Dirichlet Bertrand et Tchebyscheff

Je propose une convention unique pour les titres, soit on utilise l'article défini soit on ne l'utilise pas, le mélange des genres ne me semble pas du meilleur effet.

Une énumération de résultats n'est jamais le plus plaisant à lire. Le fil conducteur est absent, le rapport à la fonction zeta reste essentiellement obscur.

Pour les travaux de Tchebyscheff, la limite n'est pas claire, parle-t-on de π(x) ? mais la majoration semble montrer une limite vers l'infini. Je joue un petit peu à l'idiot, mais je suis sur que c'est améliorable.

[modifier] Début d'une synthèse

Quelques lectures attentives me permettent une première tentative de synthèse. Je la rédige et attends les commentaires pour savoir si ce travail est utile.

[modifier] Points forts de l'article

Le style est agréable. Il est léger, parfois vif utilisant une forme peu entachée d'une lourdeur si fréquente dans une encyclopédie. A mon sens, c'est une propriété qu'il faut absolument garder. J'apprécie par exemple des expressions comme Ce joli résultat ne résout cependant pas le problème fondamental. Je sais que cela pourrait être considéré comme à la limite du non neutre ou un peu personnel. Mais, je ne crois pas à un risque d'interprétation erronée de la part du lecteur.

L'article est aisément compréhensible. Peut-être ne suis-je pas le meilleur relecteur pour évaluer cette propriété, il faudra donc à un moment la valider par plus compétent que moi. Néanmoins je suis pour l'instant persuadé que cet article a pour vocation de viser un large public.

L'article est riche. De multiples détails sur les auteurs, comme par exemple l'évaluation du travail d'Euler sur le problème de Mengoli, ajoutent à la qualité générale de l'article. Cette richesse s'allie avec une précision dans les dates et les évènements qui font tout l'intérêt d'un article encyclopédique.

[modifier] Le point à améliorer

Les frontières de l'article ne me sautent pas aux yeux. J'ai l'impression que trois sujets sont traités, alors qu'un seul correspond au titre. L'histoire de la fonction zeta, l'histoire de la théorie analytique des nombres et une synthèse de la théorie analytique des nombres.

En fait, je n'ai l'intention que de traiter de zeta. Mais le développement des choses m'amène à aborder des techniques essentielles des mathématiques: théorie des fonctions presques périodiques, théorie des séries de Dirichlet, théorèmes d'oscillation, sommation par la formule d'Abel, intégrale de Stieljes, théorème de factorisation de Hadamard, ... Mais j'ai tout à fait conscience que je traite des trois... L'explication est en fait donnée par la citation de Lebesgue dans l'introduction.

J'ai conscience que ces trois sujets sont intimement liés. En revanche, ce mélange dans un même article me déstabilise. Prenons un exemple, l'article commence par le crible d'Eratosthène. J'ai envie de savoir d'où vient ce mathématicien, si une première raréfaction qualitative est observée, si l'on trouve des cribles qui donne les nombres premiers jusqu'à 1000 ou 10.000. A cette époque, l'extraordinaire désordre apparent des nombres premiers est-il commenté ?

oui ! par Euler, cité dans la suite et par l'introduction de Legendre dans sa théorie des nombres.Claudeh5 10 octobre 2007 à 18:03 (CEST)

En fait je m'attend à un article d'histoire des mathématiques. Le paragraphe suivant développe bien le crible, mais sous un axe totalement différent. Il est tout aussi passionnant, connaitre le futur du crible d'Eratosthène et entrevoir des réponses à des questions qui semblent éloignées comme les nombres premiers jumeaux est biensur pertinent. Cependant, ce choix me pose deux soucis : pourquoi un développement et pas l'autre et la rupture de la linéarité de l'histoire rend la lecture plus difficile.

Pour le crible, je pense devoir écrire un jour un article complet pour présenter les méthodes du crible. Mais c'est très difficle: les idées sont variées, les méthodes récentes et les exposés par ceux-là même qui les ont crées ne sont pas toujours pédagogiques.Claudeh5 10 octobre 2007 à 18:03 (CEST)

Une encyclopédie électronique est un formidable support pour un travail de cette nature. Il permet de traiter uniquement un sujet tout en pointant commodément vers les éléments connexes, souvent essentiel pour approfondir. Cet article n'utilise pas encore au mieux la nature du support.

c'est très probablement vrai.Mais je n'ai pas non plus fini la rédaction...Claudeh5 10 octobre 2007 à 18:03 (CEST)

En conséquence, le plan est parfois inutilement haché, ne donne pas l'impression de traiter de manière exhaustive le sujet et présente une richesse difficile à assimiler en une unique lecture.

[modifier] Points secondaires

Des illustrations rendent souvent la lecture plus agréable.

Hormis une collection de portraits, je ne vois pas bien ce que je peux mettre... Mais il y a peut-être autre chose.Claudeh5 25 septembre 2007 à 08:57 (CEST)

Si l'article traite d'un sujet comme l'analyse qualitative durant l'antiquité du crible d'Erastosthène, ou encore les méthodes ayant permis à Euler de résoudre le problème de Mengoli, les sources finiront par être essentiels. Elles permettent à la fois la correction rapide des incohérences comme celles sur les travaux de Legendre où WP affirme de faits contradictoires sur la date de la démonstration et, fait inavouable, est bien sympathique pour les petits copains qui peuvent accrocher les éléments connexes à leur article sur le tien tout en étant sur que l'édifice est solide.

Les références précises seront données par la suite afin de vérifier ou pour permettre un approfondissement. Mais déjà l'ensemble est suffisamment connu pour que le savoir mathématique soit assuré. Par exemple, le théorème de Speiser a été vérifié sur l'article original (en allemand). Une grande majorité des résultats sont dans le livre de Titschmarsh... Par contre je n'ai pas pu examiner la thèse d'Esclangon~(car elle est en très mauvais état à Dijon), aussi l'origine de la théorie des fonctions presques-périodiques est peut-être à modifier: Esclangon parlait de fonctions quasi-périodiques.Claudeh5 25 septembre 2007 à 08:57 (CEST)

Les remarques comme (page 402 pour ceux qui veulent vérifier) ne manquent pas d'humour, mais ne me semble pas de mise dans WP. Je reconnais que ce point est vraiment secondaire.

[modifier] Modus Opérandi

Ce que je préconise, est la démarche suivante :

Choisir le thème phare de l'article : histoire ou article général, zeta ou théorie analytique ?

Une fois l'axe déterminé, il est nécessaire de définir la flotte, si j'ose une métaphore maritime. Quel est le vaisseau amiral ? Quels sont les articles connexes de poids pour que l'article tienne la route sans impasse immédiate dès que le lecteur souhaite approfondir ? je les comparerais aux croiseurs. Enfin quels sont les petits escorteurs indispensables à une compréhension aussi profonde que celle vers laquelle se dirige l'article ? Je pense par exemple à produit eulérien, théorème de la progression arithmétique ou série L de Dirichlet. En fait, je pense à eux car ils étaient nécessaires pour l'Arithmétique modulaire, ils m'ont permis de définir une frontière.

Il devient possible à ce moment là de réaménager le plan de l'article, en supposant que WP est devenu un parfait support à l'article.

[modifier] Conclusion

Cet article représente une force là où, à mes yeux WP est le plus faible. Cet encyclopédie en maths se résume bien trop souvent à un cours de maths. Autant, la partie purement mathématique doit à mon humble avis être présente sur WP, autant cette partie représente le degré zéro de l'encyclopédie. Les analyses historiques ou synthétiques sont très largement absentes. Le défi, à mes yeux, consiste à intégrer harmonieusement ton apport dans le courant principal de WP. Ne pas le faire représente un double risque : tu ne seras que peu lu et l'influence de ton article sur les autres contributeurs sera anecdotique. Jean-Luc W 24 septembre 2007 à 10:00 (CEST)