Formule de Crofton
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Soit γ une courbe rectifiable du plan (courbe plane de longueur finie). Soit une ligne orientée l, et soit nγ(l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées par rapport à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur d'arc de la courbe γ en terme d'intégrale sur l'espace de toutes les droites orientées :
est invariante par rapport aux transformations rigides ; il s'agit donc d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui permet de parler de nombre « moyen » d'intersection.
