Forme bilinéaire non dégénérée

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[modifier] Définitions

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Soit f une forme bilinéaire sur E.

S_g(f) = \{x\in E,\ \forall y\in E,\ f(x,y)=0 \}
  • Lorsque f est symétrique, cette définition est suffisante. Sinon, on est amené à définir comme espace singulier à droite (noyau à droite) l'espace suivant :
S_d(f) = \{x\in E,\ \forall y\in E,\ f(y,x)=0 \}
  • On dit que f est non dégénérée si et seulement si S_g(f) = S_d(f) = \{\overrightarrow{0}\}.

[modifier] Propriétés

  • Pour un vecteur x de E, notons f(x,.) la fonction partielle de f qui à y associe f(x,y). C'est une forme linéaire. De plus, l'application \hat{f} de E dans E * (Espace dual de E) qui à x associe f(x,.) est linéaire.

Par construction

S_g(f) = Ker \hat{f}

.

  • En dimension finie S_g(f)= \{\overrightarrow{0}\} si et seulement si S_d(f) = \{\overrightarrow{0}\}.
  • Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E est strictement positive (c'est un produit scalaire).

C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

[modifier] Références

  • J.M. Arnaudiès et H. Fraysse Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie 1990 Dunod