Discuter:Forme différentielle

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Je m'interroge sur la phrase suivante :

"En géométrie différentielle, une forme différentielle de degré k est une section de classe \mathcal C^\infty de la ke puissance extérieure du fibré contangent d'une variété. En tout point p d'une variété, une k-forme est une application multilinéaire de la ke puissance cartésienne de l'espace tangent à p vers \mathbb R. La k-forme est un tenseur covariant antisymétrique."

Je ne suis pas sûr d'être d'accord. Je sais ce qu'est la k-ième puissance extérieure d'un espace vectoriel, mais pas d'un fibré en général. Pour moi, il y a une confusion dans l'ordre des choses : il faut d'abord prendre la k-ième puissance extérieure de l'espace cotangent, puis prendre le fibré de ces puissances extérieures. la formulation actuelle pose également le problème suivant : parler de section de "la k-ième puissance extérieure du fibré cotangent" suppose que cette k-ième puissance est un fibré, ce qui ne me paraît pas être le cas (c'est impossible de définir la projection canonique Tamamanquitaime 18 mars 2006 à 19:01 (CET)

[modifier] Retravailler l'article ?

Bonjour,

1) Pour répondre au message précédent, la k-ième puissance extérieure d'un fibré vectoriel est bien définie.

2) Il faut arriver à simplifier la définition ... Apparemment, tout le monde n'est pas à l'aise avec les fibrés vectoriels. Grosso modo, une forme différentielle est une famille d'applications multilinéaires avec dépendance du point de base. Puis on dit ce que c'est pour un ouvert, et on explicite l'écriture en coordonnées locales. Là il nous faut des exemples simples : par exemple $d θ$ en coordonnées sphériques. On donne dans un deuxième temps la définition formelle. L'intégration d'une forme différentielle est à remporter dans un autre article. La différentielle extérieure fait l'objet d'un article.

3) Généraliser le concept de formes différentielles : formes différentielles E-valuées ...

4) Citer plus de références et mettre des liens externes.

Ektoplastor

Je suis content que tu proposes un plan d'attaque sur ce chantier. Les sections de fibré vectoriel font effectivement un peu trop emphatique pour démarrer. Il vaut mieux se concentrer sur le changement de carte et introduire le pullback.

Mais il me semble que ça pourrait être bien de parler de formes différentielles d'ordre 1 dans un premier article ? Elles sont une bonne porte d'entrée, et intéressantes en soi

Peps 22 juillet 2006 à 11:46 (CEST)

Oui c'est une bonne idée de commencer pr les formes de degré 1 deux raisons au moins : 1) l'intégrale curviligne est facile à définir et on voit bien que c'est plus naturel que la "circulation d'un champ de vecteurs" qui elle nécessite un produit scalaire 2) la question des formes fermées et exactes se discute aussi assez bien Jaclaf 19 décembre 2006 à 13:37 (CET) PS Même si l'option de reporter l'intégratin des f d à un autre aticle peut se discuter, il faut au moins l'évoquer, c'est quand même leur principale raison d'être

[modifier] Faire le ménage

Je commence par l'introduction. Ekto - Plastor 9 mai 2007 à 14:42 (CEST)

[modifier] où s'k on va ?

(conflit de modifs)

Voilà la liste des configurations de lecteurs que je vois

le lecteur curieux avec une bonne culture en maths géné mais pas en géo diff, qui aime savoir à quoi ça sert (pour lui faudrait écrire des choses dans le style : variété (géométrie), en un peu plus technique mais pas trop).
le gars capable de piger le corpus analytique de base en degré 1 mais qui ne connaît pas le calcul extérieur (ex typique les élèves de niveau prépa), qui lui semble assez indigeste
le gars qui accepte de se farcir le calcul extérieur et de tout piger comme il faut, du moment qu'on ne lui parle pas d'entrée de jeu de section de fibrés.
le gars déjà au courant, qui voudrait aller vite vers des thèmes avancés

Ca va être dur de tenir compte de tout ce monde ! En tout cas, stationner longtemps sur les déf de base sans parler des applications genre cohomologie c'est pas terrible.

Peut être qu'on pourrait faire

un article "de base" forme différentielle de degré un (définies sur un ouvert), ça permet d'introduire le début de la cohomologie de de Rham
un article généraliste avec un formulaire/boîte à outils rapide et décrivant surtout l'utilité des formes diff
un article technique détaillant plus soigneusement l'introduction des formes diff ? Peps 9 mai 2007 à 14:52 (CEST)

Je précise que sur le thème, on dispose aussi de Calcul différentiel extérieur qui est excellent pour lister les formules sans encombrer les articles principaux.

Dans tout cet article, je ne saouhaite parler que de formes différentielles à valeurs réelles. Seule une dernière partie pourrait donner des renseignements sur les formes à valeurs dans un fibré muni d'une connexion (eh eh).

Je connais peu d'éléments historiques sur le sujet.

On peut faire du trois en un ? Ekto - Plastor 9 mai 2007 à 14:57 (CEST)