Fonction presque périodique

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En mathématiques, une fonction presque périodique (au sens de Harald Bohr) est une application dont les propriétés ressemblent à celles d'une fonction périodique.

[modifier] Définition

Soit $f:\R \longrightarrow \R$ une fonction et soit $\varepsilon>0$ . Un réel non nul $T$ est appelé une $\varepsilon$ -presque période de $f$ si et seulement si :

$\sup_{t \in \mathbb{R}} |f(t + T) - f(t)| \leq \varepsilon$

On note $E(f,\varepsilon)$ l'ensemble des $\varepsilon$ -presque périodes de $f$ . La fonction $f$ est dite presque périodique si l'ensemble $E(f,\varepsilon)$ est bien réparti pour tout $\varepsilon>0$ , c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon>0$ , il existe un réel $\ell>0$ , tel que tout intervalle de longueur $\ell$ a une intersection non nulle avec $E(f,\varepsilon)$ .

Par exemple, la fonction $\R \longrightarrow \R,\ t \mapsto \sin t + \sin \sqrt{2}t$ est presque périodique (bien qu'elle ne soit pas périodique).

[modifier] Propriétés

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions presque périodiques, alors les fonctions $f + g$ et $f g$ le sont aussi (contrairement aux apparences, ce résultat n'est pas trivial).
Une fonction périodique et continue est presque périodique.
Toute fonction presque périodique est bornée.
Toute fonction presque périodique est uniformément continue.
Si $f$ est une fonction presque périodique et $F$ est une fonction uniformément continue, alors $F \circ f$ est une fonction presque périodique.
Si une suite de fonctions presque périodiques converge uniformément vers une fonction $f$ , alors $f$ est presque périodique.
Théorème de Stone-Weierstrass pour les fonctions presque périodiques : l'ensemble des fonctions presque périodiques est l'adhérence, dans l'espace des fonctions continues bornées de $\mathbb{C}$ , de l'ensemble $S = \{f, \exists (a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb{C}^n, \exists (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, \forall t \in \mathbb{R}, f(t) = a_1e^{i\lambda_1 t} + \cdots + a_ne^{i\lambda_nt}\}$ .