Fonction inverse

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Mathématiques élémentaires

Analyse

Géométrie

En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante :
$f:\begin{cases}\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}^* \\x\mapsto y=\frac{1}{x} \end{cases}$ .

[modifier] Variations

Cette fonction est strictement décroissante sur l'ensemble des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'ensemble des réels strictement positifs, avec 0 comme valeur interdite. On prendra garde de ne pas dire que la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb R^*$ car si a < 0 < b , on conserve l'inégalité 1/a < 0 < 1/b

La fonction inverse n'admet pas de racine, ni de maximum ou minimum.

C'est une fonction impaire.

[modifier] Dérivée de la fonction inverse

La dérivée de la fonction inverse est la fonction f' définie par: $f':\begin{cases}\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}^* \\x\mapsto y=-\frac{1}{x^2}\end{cases}$ .

Démonstration

Pour tout a réel non nul,

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}$

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}$

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a-a-h}{a(a+h)}\cdot\frac{1}{h}$

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{-1}{a(a+h)}$

Donc

$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{-1}{a^2}$

La fonction f est donc dérivable en tout point de $\mathbb R^*$ et $f'(a) =- \frac{1}{a^2}$

Illustration :

La dérivée de $y = \frac{1}{x}$ au point d'abscisse 1 vaut $-\frac {1}{1^2} = -1$ $\Rightarrow$ Pente de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point de coordonnées (1,1) vaut -1.

[modifier] Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction inverse s'appelle une hyperbole.

L'hyperbole admet deux asymptotes : une horizontale (l'axe des abscisses) et une verticale (l'axe des ordonnées).

A l'aide du graphique, il devient facile de repérer les deux types d'asymptotes présentes dans cette fonction:

une asymptote verticale, qui a pour équation : $AV : \,x=0$ ;
une asymptote horizontale, qui a pour équation : $AH :\, y=0$ .

On remarque d'autre part que cette hyperbole possède pour centre de symétrie le point O ce qui confirme le fait que la foncton inverse est une fonction impaire.

On remarque enfin que, dans un repère orthonormal, cette hyperbole possède un axe de symétrie D:y = x. En effet le point M(x ; y) appartient à (H) si et seulement si le point M'(y ; x) appartient à (H) .(y=1/x équivaut à x= 1/y). Cette propriété graphique permet de remarquer que la fonction inverse est sa propre réciproque $f \circ f = Id_{\mathbb R^*}$ . Ou bien encore, pour tout réel x non nul, l'inverse de l'inverse de x est égal à x.

[modifier] Primitive de la fonction inverse

La recherche d'une primitive de la fonction inverse s'est faite tardivement. La primitive de la fonction inverse définie sur $]0 ; + \infty[$ qui s'annule en 1 s'appelle fonction logarithme népérien et est définie par: $F:\begin{cases}]0;+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\\x\mapsto y=\ln x\end{cases}$ .