Fonction de masse (probabilités)

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En théorie des probabilités, la fonction de masse est la fonction qui donne la probabilité pour qu'une variable aléatoire discrète soit exactement égale à une valeur donnée. Une fonction de masse se distingue d'une densité de probabilité en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires continues, et que c'est leur intégrale sur un domaine qui a valeur de probabilité (et non leurs valeurs elles-mêmes).

[modifier] Description mathématique

Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables  S ⊆ R. Alors, la fonction de masse  fX(x)  pour X est donnée par

f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), &x\in S,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash S.\end{cases}

Les valeurs  fX(x)  sont définies pour toutes les valeurs réelles, y compris celles qui ne sont jamais prises par X ; ces valeur se voient simplement assigner une probabilité nulle.

[modifier] Exemples

Soit X le résultat d'un lancer à pile ou face, identifiant 0 à pile et 1 à face ; la probabilité que X = x est de 0.5 sur l'espace des états {0, 1} (c'est une distribution de Bernoulli) ; la fonction de masse est

f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}.\end{cases}

On peut définir des fonctions de masse pour toutes les variables aléatoires discrètes, comme les variables de distributions uniformes, binomiales, binomiales négatives, géométriques, hypergéométriques, ou de Poisson.