Faisceau injectif
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Un faisceau de groupes abéliens sur un espace topologique X est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau d'un faisceau de groupes abéliens sur X, tout morphisme injectif de faisceaux de groupes abéliens se prolonge en un morphisme .
Pour rappel, tout groupe abélien se plonge dans un groupe abélien injectif. De manière analogue :
Tout faisceau de groupes abéliens sur X se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.
[modifier] Démonstrations
- Pour tout point , il existe un plongement de la tige dans un groupe abélien Jx. Introduisons le faisceau gratte-ciel J'x défini par :
- J'x(U) = Jx si ;
- J'x(U) = 0 sinon.
- Pour tout faisceau de groupes abéliens , on a :
- Il s'en suit que J'x est un faisceau injectif. Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle est un monomorphisme de dans un faisceau injectif.
Tout faisceau de groupes abéliens sur X admet une résolution injective , id est une suite exacte longue de faisceaux injectifs de groupes abéliens (In,dn) et un plongement d'image le noyau de d0.