Utilisateur:Fabien Thomas/Bac à sable

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\vec F\, = \int_L\,A.cos\theta.\vec n \, dl

\iiint_V\overrightarrow{grad}\,(\rho.g.z + p)\, dV~

θ

\,[a.g^{1/2}.d^{5/2}] = \frac{L^{1/2}}{T}.L^{5/2} = \frac{L^3}{T} = [Q]

\,K = \frac{2,25-2,10}{0,520-0,455} = 2,31

ΔE / E =

Erreur math (erreur lexicale): \frac {h_{flu} – h_{tor}} {1/2*(V_{tor}^2\,/g) + h_{tor}}


v^2 = \frac{g\lambda}{2\pi}\biggl( 1 + \frac{4\pi^2}{\lambda}\frac{A}{\rho.g} \biggr)\,tanh\biggl(\frac{2\pi\,h}{\lambda}\biggr)

v^2 = \frac{g\lambda}{2\pi} + \frac{2\pi}{\lambda}\frac{A}{\rho}

S6 Phy Stat 28/01/08 PARTIE 1 == Distribution statistique == Chap 1


[modifier] I.Intro

La Physique Statistique a pour but d'étudier le comportement et les propriétés de corps macroscopiques (constitué d'un grand nombre de particules = atomes, molécules ou entités). Elle établit des lois dont la nature ne dépend pas crucialement de la description, classique ou quantique, du système. (Ici (S) sera essentiellement décrit classiquement)

Il est possible a priori de suivre l'évolution d'un système mécanique en écrivant et intégrant les équations du mouvement. Mais cette tâche est hors d'atteinte autant analytiquement que numériquement lorsque N est grand (déjà pour N « modeste »-> chaos). La simple description des C.I. prendrait un temps infini.

La dynamique d'un système est extrêmement compliquée mais on observe une « robustesse », une simplicité des lois aux valeurs moyennes (temporelles, spatiales,...) Les lois statistiques sont qualitativement nouvelles et d'autant mieux vérifiées que N est grand, mais elles sont mises en défaut pour de petits systèmes (nanosciences).

[modifier] II.Espace des phases – fonction de distribution statistique

Soit un (S) mécanique isolé décrit par f coordonnées généralisées q1,...,qf et f vitesses généralisées \dot q_1, ..., \dot q_f (ou impulsions généralisées p1,...,pf)

                Exemple : Gaz de N particules de masse m
                                ( q , p )  ( r1 , ... , rN , p1 = m.v1 , ... , pN = m.vN )
                                Espace physique 3D => 6N variables

Un état du (S) est représenté par un point dans l'espace des phases de dimension 2f de coordonnées ( q1 , ... , qf , p1 , ... , pf )  ( q , p ) Lorsque le (S) évolue dans le temps, ce point décrit une trajectoire dans l'espace des phases. Image:Exemple.jpg Un (S) est souvent constitué de sous-(S) eux mêmes macroscopiques aux propriétés physiques éventuellement différentes. Les sous-(S) ne sont plus strictement isolés mais intéragissent entre eux; ils peuvent être considérés « quasi-isolés » sur une échelle de temps adéquate. Ils ont leur propre espace des phases inclus dans celui de (S). (toujours de 2f variables ( q , p ).

Hypothèse importante de la physique statistique :

Les intéractions au sein du sous-(S) ou dûes à l'environnement de celui-ci sont si complexes que sur un laps de temps long, il passera un grand nombre de fois par tous les étas possibles. => pptés de « mélange » de la dynamique et instatibilités locales.

Deux exemples simples :

marcheur « brownien » ou ivrogne dans un dans une boîte


Au temps long la fourmi sera passée par tous les sites du réseau. (temps de séjour identique asymptotiquement sur chacun des sites)

boule de billard

Les sphères sont à chaque collision redistribués suivant des directions extrêmes sensibles aux conditions de l'impact.


Plus exactement, désignons par ∆Γ = ∆q.∆p un élément de volume élémentaire de l'espace des phases correspondant à des valeurs des coordonnées qi et des moments pi comprises entre qi, qi + dqi et pi, pi +dpi. Sur des intervalles de temps T long, la trajectoire va passer par un grand nombre de fois à travers ∆Γ.

Soit ∆t le temps passé par le (S) dans le volume ∆Γ, Lorsque T -> ∞ , ∆t/T -> w, (w  R) où w est la probabilité que (S) se trouve à un instant donné dans ∆Γ (au temps long).

w est bien une proba car l'espace des phases est découpé en volumes identiques ∆Γ, d'où :

wn = 1 = ∆tn/T)

Il s'agit d'une probabilité « à l'équilibre » mesurable en laissant (S) évoluer sur des temps très longs. Toute mémoire de l'état initiale est perdue.

Rem : On ne sait pas toujours combien de temps il faut attendre! Il existe des systèmes qui sont toujours hors équilibre.

Si ∆Γ est infinitésimal ( -> dΓ ) , la probabilité w devient infinitésimale (-> dw) et égale à :

dw = ρ(q,p). dΓ

où ρ(q,p) est la fonction de distribution (statistique) du système (ou sous-système) considéré. (Elle joue le rôle de densité de probabilité dans l'espace des phases)

La condition de normalisation devient :

wn = 1 => I[ρ(q,p). dΓ] = 1

Le problème fondamentale de la physique statistique est la recherche de la distribution statistique ( ρ(q,p) ) pour un sous-(S) quelconque. (En générale un système physique est couplé à un environnement et n'est donc jamais qu'une partie dune ensemble plus vaste)

Si ρ(q,p) est connue, on êut calculer la valeur moyenne de toute quantité physique (ou observable) dépendant de l'état du système et donc des variables qi et pi :

<f(q,p)> = I [ f(q,p).ρ(q,p).dq.dp ] = f = lim(T->∞) 1/T. I [f(t).dt]

III. Remarques

La connaissance de ρ(q,p) évite de suivre l'évolution de (S) sur un temps très long pour accéder à ses propriétés macroscopiques.

Les moyennes temporelles peuvent être remplacées par des « moyennes d'ensemble » (Gibbs)


1 (S)

1 Etat initial

plusieurs copies du même (S) dont les états sont à l'instant considéré, distribués dans l'espace des phases selon la loi ρ(q,p)

Dans la pratique cette moyenne d'ensemble peut être réalisée en dupliquant le (S) ou, de manière implicite lorsque le (S) est assez gros pour pouvoir être divisé en un grand nombre de parties ayant les mêmes propriétés statistiques.