Discuter:Extremum
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[modifier] Extremums locaux
Quelle est la différence entre un maximum local et un maximum? (18 septembre 2005)
Question judicieuse : la définition des extremums locaux donnée dans l'article n'est guère satisfaisante. La définition usuelle d'un maximum local (celle qu'on utilise en analyse) fait intervenir une fonction f définie sur un espace topologique E (par exemple : un espace métrique, un espace vectoriel normé) et à valeurs réelles.
On dit alors que f atteint en un point a de E un maximum local S'IL EXISTE un voisinage V de a tel que f(a) soit le maximum de f sur V.
Par exemple, la fonction atteint en 0 un maximum local : on peut trouver un voisinage de 0, tel que l'intervalle V = [-1, +1], pour lequel : (mais f n'admet aucun maximum global).
C'est la définition précédente qu'on utilise quand on affirme (en analyse des fonctions de plusieurs variables) qu'étant donnée une fonction réelle f de classe C1 sur un ouvert U de , les points où elle atteint un extremum local sont nécessairement des points critiques (i. e. où la différentielle de f est nulle). Vivarés (17 octobre 2005).
[modifier] élément extrémum / extrémum de fonction
Il me semble que ces deux concepts n'ont rien à voir ? Pourquoi ne font-ils pas l'objet de deux articles séparés ? --ArséniureDeGallium 20 février 2006 à 12:23 (CET) En tous cas le titre actuel (Plus grand élément) n'a rien à voir avec "extrémum de fonction" ! --ArséniureDeGallium 20 février 2006 à 15:41 (CET)
[modifier] déplacement d'un commentaire inséré dans l'article
- début de la partie déplacée
====Tout ça est très métamathématique, très théorique. On pourrait aussi donner des exemples et des moyens de trouver (déterminer la position) des "extremums". Non?
Un exemple:
Sagissant d'une fonction commune du second degré en x, soit f(x) = ax2 + bx + c, on dira qu'il existe une valeur de x qu'on nommera m, par exemple, donc: x = m, qui est la droite verticale de symétrie de la parabole. Donc f(x+m) = f(x-m)
Application: f(x+m) = a(m+x)2 + b(m+x) + c, d'aune part, f(x-m) = a(m-x)2 + b(m-x) + c, d'autre part.
Comme f(m+x) = f(x-m), alors a(m+x)2 + b(m+x) + c = a(x-m)2 + b(x-m) + c. a(m+x)2 + b(m+x) = a(m-x)2 + b(m-x) a(m+x)2 - a(m-x)2 + b(m+x) - b(m-x) = 0 a[(m+x)2-(m-x)2] + b(m+x-m+x) = 0 a(m+x+m-x)(m+x-m+x) + 2bx = 0 a(2m)(2x) + 2bx = 0 On factorise 2 x: (2x)(2ma+b) = 0 Produit de facteur nul => 2x = 0, x = 0, ou 2ma+b = 0, 2ma = -b, m = -b/2a. Nous avons trouvé l'abscise du point "extremum" de f(x). Ce sera un minimum ou un maximum selon le signe de a.
Pour trouver l'ordonnée il suffit d'injecter cette valeur m dans la fonction: f(m) = f(-b/2a) = a(-b/2a)2 + b(-b/2a) + c = a(-b2/4a2) - b2/2a + c = - b2/4a - b2/2a + c = - b2/4a - 2b2/4a + c = - b2/4a - 2b2/4a + c = (- b2 - 2b2)/4a = - 3b2 / 4a. Je me suis probablement trompé dans ce dernier calcul algébrique.
- fin de la partie déplacée. J'appuie complètement l'idée qu'il faut séparer la problématique des extrema de fonctions de celle des plus grands éléments et/ou bornes supérieures de parties, même si elles se recoupent formellement, la présentation par fonctions est plus parlante et source de méthodes particulières. Peps 24 septembre 2006 à 09:28 (CEST)