Expérience de Cavendish

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L'expérience de Cavendish, avait pour but initial de pouvoir estimer la masse de la Terre. La masse de la Terre étant directement liée, dans l'équation de Newton, à la constante de gravitation, l'expérience permet de déterminer cette constante. Cavendish a utilisé pour cela un pendule de torsion.

[modifier] Historique

Schéma d'un pendule de torsion.

Le premier essai de détermination de la masse de la Terre fut effectué par le géophysicien Pierre Bouguer. Lorsqu'il se trouvait au Pérou, il tenta de mesurer, en vain, le faible déplacement d'un fil à plomb à proximité d'un volcan. Les déviations étant trop faibles, il lui fut impossible d'obtenir un résultant convaincant. En ce qui le concerne, Bouguer voulait mesurer la densité de la Terre.

Cette même méthode fut reprise par deux anglais en 1755 : Nevil Maskelyne et Charles Hutton. Leur expérience eut lieu près d'une montagne en Ecosse et fut concluante. Ils estimèrent la densité de la Terre entre 4,5 et 5 grammes par centimètres cubes.

C'est en 1798 que Cavendish, continuant les travaux de John Michelle, utilisa un système autre, le pendule de torsion, afin de déterminer précisément cette densité.

[modifier] Pendule de torsion

Le principe du pendule de torsion est simple. Le principe est d'obtenir un système qui établit l'équilibre entre la force de torsion d'un fil et la force d'attraction gravitationnelle. Lorsque l'on écarte le système des deux sphères de sa position d'équilibre d'un angle θ alors celles-ci, afin de retrouver l'état d'équilibre, oscillent autour de leur position d'équilibre (oscillations amorties).

Afin d'intégrer le paramètre d'attraction gravitationnelle, on utilise un second système de sphères, fixes, et de masse beaucoup plus importante. Alors le système va entrer en oscillation lui permettant ainsi de s'équilibrer en fonction de la force d'attraction et de la force de rappel.

[modifier] Constante de gravitation

[modifier] Notations

On note r la distance entre une petite masse m et le point O. r est donc une constante.

On note d la distance entre une petite masse m et une grosse masse M directement voisine. d est une fonction du temps.

[modifier] Calcul

Afin de déterminer la constante G on va considérer diverses interactions entre les éléments du système :

les frottements de l'air
les interactions A-A' et B-B'
la force de torsion du fil

On négligera les forces d'interactions A-B' et A'-B, puisqu'elles sont nettement plus faibles.

On va à présent utiliser le théorème du moment cinétique :

$\frac{\mathrm d\overrightarrow{L_O}}{\mathrm dt} = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{\mathcal M_{i,O}}$

Ici le moment cinétique s'écrit :

${L_0}=I \dot{\alpha}$

avec

$I=\sum_{i} m_i r_i^2=2 m r^2$

Le pendule est soumis à trois moments de force:

Le moment du couple de rappel

$\mathcal M_{i,0}^{rappel} = - C \alpha$

Le moment du couple d'amortissement visqueux

$\mathcal M_{i,0}^{frott} = - K \dot{\alpha}$

Le moment du couple de forces A'-A et B'-B

$\mathcal M_{i,0}^{\overrightarrow{F_{A'-A}}}+ \mathcal M_{i,0}^{\overrightarrow{F_{B'-B}}} = 2 G \frac{m M}{d^2} r$

Le théorème du moment cinétique devient donc :

$2 m r^2 \ddot{\alpha} + K \dot{\alpha} + C \alpha = 2 G \frac{m M}{d^2} r$

qui est l'équation différentielle du mouvement du pendule en régime oscillatoire forcé.

Lorsque l'on relache le système celui-ci finit par osciller très peu autour de sa position d'équilibre. On peut donc dire que lorsque le temps tend vers l'infini, les oscillations sont relativement faibles, d'ou l'approximation suivante :

$\alpha_{final} \approx Cte \Rightarrow \dot{\alpha}_{final} \rightarrow 0 \Rightarrow \ddot{\alpha}_{final} \rightarrow 0$

ce qui donne la solution particulière de l'équation différentielle :

$\alpha_{final} = 2 \frac{G m M}{d^2} \frac{r}{C}$

$G = \frac{C d^2 \alpha_{final}}{2 m M r}$

[modifier] Erreurs d'approximation

Jusque lors, on avait supposé que l'interaction entre les sphères A'-B et B'-A étaient négligeables. Cela dépend en fait du rapport de distance qu'il y a entre la grosse sphère voisine et la grosse sphère éloignée. En supposant qu'il y a un rapport r dans ces distances alors on peut démontrer que l'erreur sur G est de la forme :

$\epsilon = {\left( 1 - \frac{\sin{\theta}}{r} \right)}^2$